Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e esboce o gráfico da solução
y^prime prime+y=H2 pi(t), y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado é a EDO não-homogênea de segunda ordem
y''+y=H2pi(t), y(0)=1,;y'(0)=0,
onde H2pi(t)=H(t-2pi) é o degrau unitário em t=2pi. Vamos resolver em dois pedaços: antes de t=2pi (força zero) e depois de t=2pi (força igual a 1), aplicando continuidade de y e y' em t=2pi.

Passo 2

Para 0<= t<2pi temos
y''+y=0
A equação característica é r^2+1=0Rightarrow r=pm i, logo a solução geral é
y1(t)=Acos t+Bsin t
Impondo y1(0)=1Rightarrow A=1 e y1'(0)=0Rightarrow B=0,
y1(t)=cos t, 0<= t<2pi

Passo 3

Para t>=2pi a EDO é
y''+y=1
Uma particular é constante, yp=1, pois então yp''+yp=0+1=1. A solução geral é
y2(t)=Ccos t+Dsin t+1

Passo 4

Impondo continuidade em t=2pi:
y1(2pi)=cos(2pi)=1, y1'(2pi)=-sin(2pi)=0
De y2(2pi)=Ccos(2pi)+Dsin(2pi)+1=C+1=1Rightarrow C=0.
De y2'(2pi)=-Csin(2pi)+Dcos(2pi)=D=0.

Passo 5

Assim a solução completa é
y(t)= cos t, & 0<= t<2pi, 1, & t>=2pi

Passo 6

Esboço do gráfico: para 0<= t<2pi é a curva cos t saindo de y(0)=1, passando por -1 em t=pi e voltando a 1 em 2pi. A partir de t=2pi o valor se mantém constante em y=1.

Resposta

y(t)= cos t, & 0<= t<2pi, 1, & t>=2pi

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