Se f(x)=x^2+2 x e g(x)=x+52 x-3, qual é a fórmula de f(g^-1(x)) ?

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=x^2+2x
e
g(x)=dfracx+52x-3,
e pede a forma de fl(g^-1(x)r).
O conteúdo envolvido é encontrar a função inversa de g e depois fazer a composição com f.

Passo 2

Para achar g^-1, escrevemos
y = u+52u-3
e resolvemos para u:
y(2u-3) = u+5 Longrightarrow 2yu - 3y = u + 5 Longrightarrow 2yu - u = 3y + 5 Longrightarrow u(2y - 1) = 3y + 5
Logo
g^-1(y) = 3y + 52y - 1,
e, trocando y por x,
g^-1(x) = 3x + 52x - 1

Passo 3

Agora fazemos a composição
fl(g^-1(x)r) = l(g^-1(x)r)^2 ;+; 2,g^-1(x) = (3x+52x-1)^2 ;+; 2cdot3x+52x-1

Passo 4

Para simplificar, colocamos sobre o mesmo denominador (2x-1)^2:
fl(g^-1(x)r) = (3x+5)^2 + 2(3x+5)(2x-1)(2x-1)^2
Calculando o numerador:
(3x+5)^2 = 9x^2+30x+25, 2(3x+5)(2x-1) = (6x+10)(2x-1) = 12x^2+14x-10,
9x^2+30x+25 ;+; 12x^2+14x-10 = 21x^2 + 44x + 15
Assim,
fl(g^-1(x)r) = 21x^2 + 44x + 15(2x-1)^2

Resposta

fl(g^-1(x)r) = 21x^2 + 44x + 15(2x-1)^2

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