O maior con unto de números reais onde a funçăo
f(x)=raiz4-|2 x+1|x+2
faz sentido é

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o maior conjunto de números reais onde a função
f(x)=raiz4 - |2x + 1|x + 2
faz sentido, ou seja, onde essa função está bem definida. Isso envolve entender de quais valores de x a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa e o denominador x + 2 não é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de domínio de funções, propriedades de radicais e valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma raiz quadrada estar definida nos números reais, o que estiver dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:
4 - |2x + 1|x + 2 >= 0
Além disso, o denominador x + 2 não pode ser igual a zero, pois divisão por zero não é permitida. Então:
x + 2 neq 0 implies x neq -2

Passo 3

Agora, vamos analisar a desigualdade:
4 - |2x + 1|x + 2 >= 0
Isso significa que o quociente tem que ser positivo ou zero. Para que uma fração seja não negativa, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), ou o numerador pode ser zero.

Passo 4

Vamos considerar os casos onde x + 2 > 0 e x + 2 < 0 separadamente.
Caso 1: x + 2 > 0 (ou seja, x > -2 )
Nesse caso, para a fração ser não negativa, o numerador também precisa ser maior ou igual a zero:
4 - |2x + 1| >= 0 implies |2x + 1| <= 4
Caso 2: x + 2 < 0 (ou seja, x < -2 )
Aqui, para a fração ser não negativa, o numerador precisa ser menor ou igual a zero:
4 - |2x + 1| <= 0 implies |2x + 1| >= 4

Passo 5

Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso 1: x > -2 e |2x + 1| <= 4
A desigualdade com valor absoluto pode ser escrita como:
-4 <= 2x + 1 <= 4
Vamos resolver as duas partes:
  1. 2x + 1 >= -4 implies 2x >= -5 implies x >= -52
  2. 2x + 1 <= 4 implies 2x <= 3 implies x <= 32
Então, para este caso, x está no intervalo:
-52 <= x <= 32
Mas lembre-se que x > -2 , então o intervalo válido é:
-2 < x <= 32
Caso 2: x < -2 e |2x + 1| >= 4
Novamente, resolvendo a desigualdade:
2x + 1 >= 4 implies 2x >= 3 implies x >= 32
Ou
2x + 1 <= -4 implies 2x <= -5 implies x <= -52
Mas como x < -2 , apenas a segunda parte é válida:
x <= -52

Passo 6

Agora, vamos juntar os resultados dos dois casos:
  1. Caso 1: -2 < x <= 32
  2. Caso 2: x <= -52
Portanto, o conjunto de x que satisfaz a função é a união desses intervalos:
x <= -52 ou -2 < x <= 32

Resposta

O maior conjunto de números reais onde a função está definida é:
x <= -52 ou -2 < x <= 32

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