O maior con unto de números reais onde a funçăo
faz sentido é
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o maior conjunto de números reais onde a função
faz sentido, ou seja, onde essa função está bem definida. Isso envolve entender de quais valores de
a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa e o denominador
não é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de domínio de funções, propriedades de radicais e valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma raiz quadrada estar definida nos números reais, o que estiver dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:
Além disso, o denominador
não pode ser igual a zero, pois divisão por zero não é permitida. Então:
Passo 3
Agora, vamos analisar a desigualdade:
Isso significa que o quociente tem que ser positivo ou zero. Para que uma fração seja não negativa, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), ou o numerador pode ser zero.
Passo 4
Vamos considerar os casos onde
e
separadamente.
Caso 1:
(ou seja,
)
Nesse caso, para a fração ser não negativa, o numerador também precisa ser maior ou igual a zero:
Caso 2:
(ou seja,
)
Aqui, para a fração ser não negativa, o numerador precisa ser menor ou igual a zero:
Passo 5
Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso 1:
e
A desigualdade com valor absoluto pode ser escrita como:
Vamos resolver as duas partes:
Então, para este caso,
está no intervalo:
Mas lembre-se que
, então o intervalo válido é:
Caso 2:
e
Novamente, resolvendo a desigualdade:
Ou
Mas como
, apenas a segunda parte é válida:
Passo 6
Agora, vamos juntar os resultados dos dois casos:
- Caso 1:
- Caso 2:
Portanto, o conjunto de
que satisfaz a função é a união desses intervalos:
Resposta
O maior conjunto de números reais onde a função está definida é: