A fórmula de Euler permite a descrição de quantidade reais que variam de maneira senoidal por meio de exponenciais complexas. Considere as funções dadas por
e
, em que
(amplitude),
(frequência angular) e
(fase) são constantes reais e
é uma variável real. Seja a função complexa de variável real dada por
, onde
é chamada de amplitude complexa. Verifique que
e
Passo 1
O enunciado apresenta duas funções reais
e uma função complexa
O objetivo é usar a fórmula de Euler
para escrever
em termos de cosseno e seno e comparar com
e
.
Passo 2
Escrevemos
substituindo
:
Agora aplicamos a fórmula de Euler ao expoente
:
Passo 3
Pela fórmula de Euler,
Multiplicando por
, obtemos
Passo 4
Extraímos a parte real e a parte imaginária de
:
Passo 5
Usamos as identidades trigonométricas
Logo,
Passo 6
Concluímos que, de fato,
mas
portanto a afirmação do enunciado de que
está invertida.