A fórmula de Euler permite a descrição de quantidade reais que variam de maneira senoidal por meio de exponenciais complexas. Considere as funções dadas por f_{1}(t)=a \cos (\omega t-\theta) e f_{2}(t)=\operatorname{asen}(\omega t-\theta), em que a (amplitude), \omega (frequência angular) e \theta (fase) são constantes reais e t é uma variável real. Seja a função complexa de variável real dada por g(t)=B e^{-i \omega t}, onde B=a e^{i \theta} \in \mathbb{C} é chamada de amplitude complexa. Verifique que f_{1}(t)=\operatorname{Re}(g) e f_{2}(t)=\operatorname{Im}(g)

Passo 1

O enunciado apresenta duas funções reais
f_{1}(t)=a\cos(\omega t-\theta), \quad f_{2}(t)=a\sin(\omega t-\theta)
e uma função complexa
g(t)=B\,e^{-i\omega t}, \quad B=a\,e^{i\theta}.
O objetivo é usar a fórmula de Euler
e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi
para escrever g(t) em termos de cosseno e seno e comparar com f_{1} e f_{2}.

Passo 2

Escrevemos g(t) substituindo B:
g(t)=a\,e^{i\theta}\,e^{-i\omega t} =a\,e^{\,i(\theta-\omega t)}.
Agora aplicamos a fórmula de Euler ao expoente \theta-\omega t:

Passo 3

Pela fórmula de Euler,
e^{\,i(\theta-\omega t)} =\cos(\theta-\omega t)+i\sin(\theta-\omega t).
Multiplicando por a, obtemos
g(t) =a\cos(\theta-\omega t) +i\,a\sin(\theta-\omega t).

Passo 4

Extraímos a parte real e a parte imaginária de g(t):
\Re\bigl(g(t)\bigr)=a\cos(\theta-\omega t), \quad \Im\bigl(g(t)\bigr)=a\sin(\theta-\omega t).

Passo 5

Usamos as identidades trigonométricas
\cos(\theta-\omega t)=\cos(\omega t-\theta), \quad \sin(\theta-\omega t)=-\sin(\omega t-\theta).
Logo,
\Re\bigl(g(t)\bigr) =a\cos(\omega t-\theta) =f_{1}(t),
\Im\bigl(g(t)\bigr) =-\,a\sin(\omega t-\theta) =-\,f_{2}(t).

Passo 6

Concluímos que, de fato,
f_{1}(t)=\Re\bigl(g(t)\bigr),
mas
f_{2}(t)=-\,\Im\bigl(g(t)\bigr),
portanto a afirmação do enunciado de que f_{2}(t)=\Im(g(t)) está invertida.

Resposta

f_{1}(t)=\Re(g(t)) e na verdade f_{2}(t)=-\Im(g(t)), não +\Im(g(t)).

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