Prove que polinômios complexos de grau 2 podem ser resolvidos pela fórmula quadrática usual. Use esta fórmula para encontrar as soluções de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que qualquer polinômio quadrático de coeficientes complexos
pode ser resolvido pela fórmula quadrática usual. O conteúdo principal é o completamento do quadrado e a definição de discriminante. Depois, vamos aplicar essa fórmula ao caso concreto
Passo 2
Começamos com a equação geral
- Dividimos tudo por
para ficar o coeficiente de igual a :
- Isolamos o termo quadrático e o linear e completamos o quadrado:
- Reescrevendo, temos
- Tirando raiz quadrada (existente no conjunto dos complexos), obtemos
Isso prova a fórmula quadrática em
.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula ao polinômio monico
onde
,
e
. O discriminante é
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Resposta
As soluções de
são