Prove que polinômios complexos de grau 2 podem ser resolvidos pela fórmula quadrática usual. Use esta fórmula para encontrar as soluções de z^{2}+4 z+5=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que qualquer polinômio quadrático de coeficientes complexos
a z^{2}+b z+c=0,\quad a\neq0
pode ser resolvido pela fórmula quadrática usual. O conteúdo principal é o completamento do quadrado e a definição de discriminante. Depois, vamos aplicar essa fórmula ao caso concreto
z^{2}+4z+5=0.

Passo 2

Começamos com a equação geral
a z^{2}+b z+c=0,\quad a\neq0.
  1. Dividimos tudo por a para ficar o coeficiente de z^2 igual a 1:
z^{2}+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a}=0.
  1. Isolamos o termo quadrático e o linear e completamos o quadrado:
z^{2}+\frac{b}{a}z = -\frac{c}{a} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(z+\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} = -\frac{c}{a}.
  1. Reescrevendo, temos
\Bigl(z+\frac{b}{2a}\Bigr)^{2} = \frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{c}{a} = \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}.
  1. Tirando raiz quadrada (existente no conjunto dos complexos), obtemos
z+\frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Isso prova a fórmula quadrática em \mathbb{C}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula ao polinômio monico
z^{2}+4z+5=0,
onde a=1, b=4 e c=5. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = 4^{2}-4\cdot1\cdot5 = 16-20 = -4.
Logo
z = \frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2} = \frac{-4\pm2\,i}{2} = -2\pm i.

Resposta

As soluções de z^{2}+4z+5=0 são
z_{1} = -2 + i, \quad z_{2} = -2 - i.

Exercícios relacionados