Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
\left(2 y^{2} x-3\right) d x+\left(2 y x^{2}+4\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
(2y^{2}x - 3)\,dx + (2yx^{2} + 4)\,dy = 0
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar a definição de equação exata: se M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é exata quando \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x y^{2} - 3, \quad N(x,y) = 2x^{2}y + 4.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x y^{2}-3) = 4xy,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^{2}y+4) = 4xy.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\varphi(x,y) = \int (2x y^{2} - 3)\,dx = x^{2}y^{2} - 3x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = N(x,y).
Da expressão de \varphi obtemos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2x^{2}y + h'(y)
e isso deve ser igual a 2x^{2}y+4. Logo
h'(y) = 4 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = 4y + C.
Assim,
\varphi(x,y) = x^{2}y^{2} - 3x + 4y + C.

Resposta

A equação é exata e a solução geral implícita é
x^{2}y^{2} - 3x + 4y = C.

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