Funções complexas de variável real podem ser tradas pelos métodos do cálculo de variáveis reais. De fato, pela identificação que fizemos no nosso curso, uma função complexa de variável real
g(t)=u(t)+i v(t)
é uma curva parametrizada no plano complexo. Então
\frac{d g}{d t}=\frac{d u}{d t}+i \frac{d v}{d t}
No curso de Cáculo II são estudadas EDO’s lineares de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes (reais, é claro):
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+a_{1} \frac{d y}{d t}+a_{0} y=0
Naquele curso, a solução geral é obtida a partir da análise da chamada equação característica:
\lambda^{2}+a_{1} \lambda+a_{0}=0
Obtenha a solução geral desta EDO, no caso em que o discriminante da equação característica é negativo. Embora, neste caso, o uso de números complexos seja necessário, a solução geral não deve conter números complexos!

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes reais
\frac{d^{2}y}{d t^{2}} + a_{1}\,\frac{d y}{d t} + a_{0}\,y = 0
quando o discriminante da equação característica é negativo. O conteúdo é solução de EDO com raízes complexas conjugadas, mas queremos escrever a resposta sem números complexos.

Passo 2

Escrevemos a equação característica
\lambda^{2} + a_{1}\,\lambda + a_{0} = 0
e definimos o discriminante
\Delta = a_{1}^{2} - 4\,a_{0}.
No caso \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas.

Passo 3

As raízes da característica são
\lambda_{1,2} = \frac{-a_{1} \pm \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-a_{1}}{2} \pm \frac{i\sqrt{-\Delta}}{2}.
Definimos
\alpha = -\frac{a_{1}}{2}, \qquad \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2} = \frac{\sqrt{4\,a_{0}-a_{1}^{2}}}{2},
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\lambda_{1} = \alpha + i\beta, \qquad \lambda_{2} = \alpha - i\beta.

Passo 4

A solução complexa geral é
y(t) = C_{1}\,e^{(\alpha + i\beta)t} + C_{2}\,e^{(\alpha - i\beta)t}.
Usando a fórmula de Euler
e^{(\alpha \pm i\beta)t} = e^{\alpha t}\bigl(\cos(\beta t) \pm i\sin(\beta t)\bigr),
podemos combinar as partes real e imaginária para obter duas soluções reais linearmente independentes:
y_{1}(t) = e^{\alpha t}\cos(\beta t), \qquad y_{2}(t) = e^{\alpha t}\sin(\beta t).

Resposta

A solução geral real é
y(t) = e^{-\tfrac{a_{1}}{2}t}\,\bigl(C_{1}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{4a_{0}-a_{1}^{2}}}{2}\,t\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{4a_{0}-a_{1}^{2}}}{2}\,t\bigr)\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.

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