Funções complexas de variável real podem ser tradas pelos métodos do cálculo de variáveis reais. De fato, pela identificação que fizemos no nosso curso, uma função complexa de variável real
é uma curva parametrizada no plano complexo. Então
No curso de Cáculo II são estudadas EDO’s lineares de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes (reais, é claro):
Naquele curso, a solução geral é obtida a partir da análise da chamada equação característica:
Obtenha a solução geral desta EDO, no caso em que o discriminante da equação característica é negativo. Embora, neste caso, o uso de números complexos seja necessário, a solução geral não deve conter números complexos!
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes reais
quando o discriminante da equação característica é negativo. O conteúdo é solução de EDO com raízes complexas conjugadas, mas queremos escrever a resposta sem números complexos.
Passo 2
Escrevemos a equação característica
e definimos o discriminante
No caso
, as raízes são complexas conjugadas.
Passo 3
As raízes da característica são
Definimos
logo
Passo 4
A solução complexa geral é
Usando a fórmula de Euler
podemos combinar as partes real e imaginária para obter duas soluções reais linearmente independentes:
Resposta
A solução geral real é
onde
e
são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.