A fórmula
|f^prime prime(x)|(1+(f^prime(x))^2)^3 / 2
mede a curvatura do gráfico de y=f(x) no ponto (x, f(x)).
Determine a curvatura de:
f(x)=x^3+x+2.

Passo 1

O enunciado pede a curvatura do gráfico de y=f(x) onde
f(x)=x^3+x+2
no ponto (x,f(x)). O conteúdo que vamos aplicar é cálculo de derivadas (para obter f' e f'') e, em seguida, usar a fórmula da curvatura
kappa(x)=l|f''(x)r|l(1+l(f'(x)r)^2r)^3/2

Passo 2

Calculamos as derivadas de f:
f'(x)=ddx(x^3+x+2)=3x^2+1,
f''(x)=ddx(3x^2+1)=6x

Passo 3

Substituindo f' e f'' na fórmula da curvatura, obtemos
kappa(x) =l|6xr|l(1+(3x^2+1)^2r)^3/2

Passo 4

Para simplificar o denominador note que
(3x^2+1)^2=9x^4+6x^2+1
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1+(3x^2+1)^2=9x^4+6x^2+2
Assim a curvatura fica
kappa(x)=6,|x|l(9x^4+6x^2+2r)^3/2

Resposta

kappa(x)=6,|x|l(9x^4+6x^2+2r)^3/2

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