A fórmula
|f^prime prime(x)|(1+(f^prime(x))^2)^3 / 2
mede a curvatura do gráfico de y=f(x) no ponto (x, f(x)).
Determine a curvatura de:
f(x)=raizx.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura de y=f(x) com f(x)=raizx. A curvatura num ponto é dada pela fórmula
kappa(x)=l|f''(x)r|l(1+(f'(x))^2r)^3/2
Para resolver, precisamos derivar f duas vezes e depois substituir na expressão acima.

Passo 2

Primeiro derivamos uma vez:
f'(x)=ddxl(x^1/2r)=12raizx
Em seguida derivamos de novo:
f''(x)=ddxl(12x^-1/2r)=-14,x^3/2

Passo 3

Substituímos f'(x) e f''(x) na fórmula da curvatura, lembrando do valor absoluto em f'':
kappa(x) =l|-14x^3/2r|l(1+l(12raizxr)^2r)^3/2 =14x^3/2l(1+14xr)^3/2

Passo 4

Agora simplificamos:
1+14x=4x+14x,
l(4x+14xr)^3/2 =(4x+1)^3/2(4x)^3/2 =(4x+1)^3/28,x^3/2,
kappa(x) =14x^3/2(4x+1)^3/28x^3/2 =14x^3/2cdot8x^3/2(4x+1)^3/2 =2(4x+1)^3/2

Resposta

A curvatura de f(x)=raizx é
kappa(x)=2(4x+1)^3/2

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