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Fórmula 2,5 pontos

Considere duas esferas dielétricas de raio 5 cm tais que a densidade volumétrica \gamma_{1} da primeira carga Q1é o dobro da densidade volumétrica \gamma_{2} segunda carga Q2.
Considerando que seus centros estão distantes de 63 cm qual a distância em relação à carga Q1 em que o campo resultante se anula, considerando que a carga da primeira esfera é Q1 =6 \mu C.
Dê a resposta em centímetros, com 1 casa decimal.

Resposta

Passo 1

O enunciado pede: “qual a distância em relação à carga Q1 em que o campo resultante se anula”, dada uma configuração com as seguintes informações:
  • Duas esferas dielétricas idênticas de raio \,5\\ \text{cm}.
  • A densidade volumétrica da primeira é o dobro da da segunda: \gamma_{1}=2\gamma_{2}.
  • Distância entre os centros: \,63\\ \text{cm}.
  • A carga total da primeira esfera é \,Q_{1}=6\\ \mu\text{C}.
  • Pedir a distância a partir de \,Q_{1} (ou seja, a partir do centro da primeira esfera) onde o campo elétrico resultante é nulo.
    Fim do resumo — agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Relacionar densidade volumétrica e carga total das esferas. A carga total de uma esfera uniformemente carregada é a densidade vezes o volume:
Q=\gamma\cdot V,\qquad V=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Como as esferas têm mesmo raio, o volume é igual para as duas. Então, com \gamma_{1}=2\gamma_{2},
Q_{1}=\gamma_{1}V=2\gamma_{2}V=2Q_{2}\quad\Rightarrow\quad Q_{2}=\frac{Q_{1}}{2}.
Substituindo \,Q_{1}=6\\ \mu\text{C} obtemos
Q_{2}=\frac{6\\ \mu\text{C}}{2}=3\\ \mu\text{C}.

Passo 3

Argumento físico sobre campos fora das esferas: para um ponto localizado fora de uma esfera uniformemente carregada, o campo elétrico produzido pela esfera é igual ao campo de uma carga concentrada no centro com o mesmo Q (resultado do teorema de Gauss). Vamos verificar que o ponto onde o campo pode se anular fica fora das esferas; se for, podemos tratar cada esfera como carga pontual situada em seu centro. Depois calculamos e confirmamos que o ponto encontrado está de fato fora das esferas.

Passo 4

Geometria e equação do equilíbrio de campos. Coloco o centro de \,Q_{1} em x=0 e o centro de \,Q_{2} em x=d com d=63\\ \text{cm}. Procuro um ponto entre os centros (já que cargas positivas produzem campos opostos entre elas) a uma distância x de \,Q_{1} onde os módulos dos campos se igualam:
E_{1}=\frac{kQ_{1}}{x^{2}},\qquad E_{2}=\frac{kQ_{2}}{(d-x)^{2}}.
No ponto entre as cargas os vetores têm sentidos opostos, logo a condição E_{1}=E_{2} garante anulação resultante. Cancelando k e resolvendo:
\frac{Q_{1}}{x^{2}}=\frac{Q_{2}}{(d-x)^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{x}{d-x}=\sqrt{\frac{Q_{1}}{Q_{2}}}.
Isolando x:
x=\frac{d\sqrt{Q_{1}/Q_{2}}}{1+\sqrt{Q_{1}/Q_{2}}}.

Passo 5

Substituir os valores conhecidos. Como \,Q_{1}/Q_{2}=2, temos \sqrt{Q_{1}/Q_{2}}=\sqrt{2}. Assim
x=d\cdot\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}.
Podemos simplificar racionalizando o denominador:
\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\;2-\sqrt{2}.
Logo
x=d\,(2-\sqrt{2}).
Agora o cálculo numérico: \sqrt{2}\approx1,41421356, então 2-\sqrt{2}\approx0,58578644. Com d=63\\ \text{cm},
x=63\cdot0,58578644\approx36,9045\\ \text{cm}.
Arredondando para uma casa decimal obtemos \,36,9\\ \text{cm}.
Verificação: a distância x\approx36,9\\ \text{cm} é maior que o raio de cada esfera ( 5\\ \text{cm}), portanto o ponto está fora das esferas e a aproximação por cargas pontuais no centro é válida.

Passo 6

Resumo final (motivacional curto): achamos o ponto entre as esferas onde os campos se cancelam; foi tranquilo porque a razão das cargas era simples ( 2) e a expressão ficou compacta. Vai dar certo na prova — só lembrar da ideia: fora da esfera, campo = como se fosse carga no centro; igualar módulos e resolver.

Resposta

\,36,9\\ \text{cm}

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