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Fórmula 2,5 pontos
Considere duas esferas dielétricas de raio 5 cm tais que a densidade volumétrica
da primeira carga Q1é o dobro da densidade volumétrica
segunda carga Q2.
Considerando que seus centros estão distantes de 63 cm qual a distância em relação à carga Q1 em que o campo resultante se anula, considerando que a carga da primeira esfera é Q1
.
Dê a resposta em centímetros, com 1 casa decimal.
Resposta
Fórmula 2,5 pontos
Passo 1
O enunciado pede: “qual a distância em relação à carga Q1 em que o campo resultante se anula”, dada uma configuração com as seguintes informações:
- Duas esferas dielétricas idênticas de raio
. - A densidade volumétrica da primeira é o dobro da da segunda:
. - Distância entre os centros:
. - A carga total da primeira esfera é
. - Pedir a distância a partir de
(ou seja, a partir do centro da primeira esfera) onde o campo elétrico resultante é nulo.
Fim do resumo — agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Relacionar densidade volumétrica e carga total das esferas. A carga total de uma esfera uniformemente carregada é a densidade vezes o volume:
Como as esferas têm mesmo raio, o volume é igual para as duas. Então, com
,
Substituindo
obtemos
Passo 3
Argumento físico sobre campos fora das esferas: para um ponto localizado fora de uma esfera uniformemente carregada, o campo elétrico produzido pela esfera é igual ao campo de uma carga concentrada no centro com o mesmo
(resultado do teorema de Gauss). Vamos verificar que o ponto onde o campo pode se anular fica fora das esferas; se for, podemos tratar cada esfera como carga pontual situada em seu centro. Depois calculamos e confirmamos que o ponto encontrado está de fato fora das esferas.
Passo 4
Geometria e equação do equilíbrio de campos. Coloco o centro de
em
e o centro de
em
com
. Procuro um ponto entre os centros (já que cargas positivas produzem campos opostos entre elas) a uma distância
de
onde os módulos dos campos se igualam:
No ponto entre as cargas os vetores têm sentidos opostos, logo a condição
garante anulação resultante. Cancelando
e resolvendo:
Isolando
:
Passo 5
Substituir os valores conhecidos. Como
, temos
. Assim
Podemos simplificar racionalizando o denominador:
Logo
Agora o cálculo numérico:
, então
. Com
,
Arredondando para uma casa decimal obtemos
.
Verificação: a distância
é maior que o raio de cada esfera (
), portanto o ponto está fora das esferas e a aproximação por cargas pontuais no centro é válida.
Passo 6
Resumo final (motivacional curto): achamos o ponto entre as esferas onde os campos se cancelam; foi tranquilo porque a razão das cargas era simples (
) e a expressão ficou compacta. Vai dar certo na prova — só lembrar da ideia: fora da esfera, campo = como se fosse carga no centro; igualar módulos e resolver.