Uma fórmula proposta para calcular a resistência do ar em um pulverizador agrícola é R=k cdot d cdot v^3, onde k é uma constante, d é o diâmetro da gota e v é a velocidade do pulverizador. Use análise dimensional para verificar se a fórmula é dimensionalmente correta.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão diz e o que a gente vai usar.
Enunciado: temos a fórmula da resistência do ar num pulverizador agrícola
R = k cdot d cdot v^3
onde
  • é a resistência do ar (uma força),
  • é o diâmetro da gota (um comprimento),
  • é a velocidade do pulverizador,
  • é uma constante.
Matéria: análise dimensional, que é o processo de verificar se os dois lados de uma fórmula têm as mesmas dimensões (M, L, T).
O que vamos precisar: saber as dimensões básicas de força, comprimento e velocidade, e usar as regras de análise dimensional para ver se rola homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, identificando as dimensões das grandezas:
  • Resistência do ar [R] = M , L , T^-2 é uma força, então [d] = L
  • Diâmetro [v] = L , T^-1 é comprimento, logo
  • Velocidade é comprimento por tempo, então

Passo 3

Na fórmula [k] times [d] times [v]^3 , o lado direito tem a dimensão de
[d] = L, [v]^3 = (L , T^-1)^3 = L^3 , T^-3
Substituindo as dimensões que já temos:
[lado direito] = [k] times L times (L^3 , T^-3) = [k] , L^4 , T^-3
Logo

Passo 4

Para a fórmula ser dimensionalmente correta, as dimensões dos dois lados têm de bater:
[R] = M , L , T^-2 stackrel!= [k] , L^4 , T^-3
Isso significa que a gente precisa ter
[k] , L^4 , T^-3 = M , L , T^-2
Isolando [k] = M , L , T^-2L^4 , T^-3 = M , L^1-4 , T^-2 -(-3) = M , L^-3 , T^1 , a gente divide ambos os lados por :

Resposta

A fórmula é dimensionalmente correta, desde que a constante boxed[k] = M , L^-3 , T^1 tenha dimensão

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