(Hidráulica Básica - Rodrigo Porto) A ligação entre dois reservatórios abertos, cujos níveis d’água diferem em 10 m , é feita através de uma tubulação de 0,15 \mathrm{~m} de diâmetro, em aço soldado liso, coeficiente de rugosidade \varepsilon=0,10 \mathrm{~mm}. O comprimento retilíneo da tubulação é 410 m , existindo singularidades, que produzem as seguintes perdas localizadas: entrada na tubulação em aresta viva, \mathrm{Ke}=0,5, dois cotovelos raio curto, \mathrm{Kc}=0,8 e entrada no reservatório inferior, \mathrm{Ks}=1,0. Determine a vazão transportada em regime permanente.

Passo 1

O enunciado liga dois reservatórios abertos com diferença de nível \Delta H = 10,m por uma tubulação de diâmetro D=0,15,m, comprimento L=410,m, rugosidade \varepsilon=0,10,mm =0,0001,m. As perdas localizadas são: entrada em aresta viva K_e=0,5, dois cotovelos K_c=0,8 cada e saída K_s=1,0. Queremos a vazão Q em regime permanente usando a equação de energia com Darcy–Weisbach e perdas localizadas.

Passo 2

Calcula-se o somatório das perdas localizadas:
\sum K \;=\; K_e \;+\;2\,K_c\;+\;K_s \;=\;0,5\;+\;2\times0,8\;+\;1,0 \;=\;3,1.

Passo 3

A equação de energia reduzida dá
\Delta H =\;h_f+\sum h_m =\;\frac{f\,L}{D}\,\frac{V^2}{2g} \;+\;\sum K\,\frac{V^2}{2g}.
Isolando V:
V =\sqrt{\frac{2g\,\Delta H}{\displaystyle \frac{f\,L}{D}+\sum K}}.
A área da seção é
A=\frac{\pi D^2}{4},
logo
Q=A\,V.

Passo 4

O fator de atrito f depende de Re e \varepsilon/D. Usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain:
f =0,25\;\biggl[\log_{10}\!\bigl(\tfrac{\varepsilon}{3,7D} +\tfrac{5{,}74}{Re^{0,9}}\bigr)\biggr]^{-2},
onde
Re=\frac{V\,D}{\nu},
e adotamos \nu=1\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}. Vamos iterar até convergir.

Passo 5

1ª iteração: chute f_0=0,02.
Calcula L/D=410/0,15=2733,3. \displaystyle \frac{f_0L}{D}+\sum K=0,02\times2733,3+3,1=57,77.
V_1=\sqrt{\frac{2\times9,81\times10}{57,77}} =1,843\;\mathrm{m/s}, \quad Re_1=\frac{1,843\times0,15}{10^{-6}}=2,7645\times10^5.
Para Re_1 e \varepsilon/D=0,0001/0,15=6,667\times10^{-4}:
\frac{\varepsilon}{3,7D} =\frac{0,0001}{3,7\times0,15}=1,80\times10^{-4}, \quad \frac{5{,}74}{Re_1^{0,9}} =\frac{5{,}74}{(2,7645\times10^5)^{0,9}} =7,26\times10^{-5},
\log_{10}(1,80\times10^{-4}+7,26\times10^{-5}) =\log_{10}(2,53\times10^{-4}) =-3,597,
f_1 =\frac{0,25}{(-3,597)^2} =0,01932.

Passo 6

2ª iteração com f_1=0,01932: \displaystyle \frac{f_1L}{D}+\sum K=0,01932\times2733,3+3,1=55,92.
V_2=\sqrt{\frac{196,2}{55,92}} =1,873\;\mathrm{m/s}, \quad Re_2=1,873\times0,15/10^{-6}=2,8095\times10^5.
Repetindo Swamee–Jain obtém-se
f_2\approx0,01930.
Como |f_2-f_1| é pequeno, consideramos convergido.

Passo 7

Com V=1,873,m/s, a área é
A=\frac{\pi (0,15)^2}{4}=0,01767\;\mathrm{m^2},
portanto
Q=A\,V =0,01767\times1,873 =0,0331\;\mathrm{m^3/s}.

Resposta

A vazão transportada em regime permanente é cerca de
\boxed{Q=0,0331\;\mathrm{m^3/s}\;(33,1\;L/s).}

Exercícios relacionados