Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente encontre o domínio, a imagem, descreva o gráfico e, por fim, calcule a derivada. O conteúdo envolve funções polinomiais (quadrática) e a regra de derivação do tipo
.
Passo 2
Para determinar o domínio e a imagem de
, lembramos que:
- O domínio de uma função polinomial é todo o conjunto dos números reais, pois não há nenhuma restrição (como divisão por zero ou raiz de índice par de número negativo).
- A imagem é o conjunto de valores que
assume, isto é,
Nesse caso, o menor valor de
ocorre em
, dando
, e conforme
, temos
.
Portanto:
Passo 3
O gráfico de
é uma parábola com as seguintes características:
- Vértice em
. - Eixo de simetria é a reta
(eixo ). - Concavidade voltada para cima.
- Única raiz em
, interceptando o eixo em .
Geometricamente, para valores de
positivos ou negativos,
cresce quadrático, formando aquela “taça” simétrica em torno do eixo
.
Passo 4
Para calcular a derivada de
usamos a regra da potência, que diz que
Aqui
, então
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: parábola de vértice em , concavidade para cima e eixo de simetria
Derivada:
Imagem:
Gráfico: parábola de vértice em
Derivada: