Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
y(x)=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede, para a função
y(x)=x^{2},
que a gente encontre o domínio, a imagem, descreva o gráfico e, por fim, calcule a derivada. O conteúdo envolve funções polinomiais (quadrática) e a regra de derivação do tipo x^n.

Passo 2

Para determinar o domínio e a imagem de y(x)=x^2, lembramos que:
  • O domínio de uma função polinomial é todo o conjunto dos números reais, pois não há nenhuma restrição (como divisão por zero ou raiz de índice par de número negativo).
  • A imagem é o conjunto de valores que y assume, isto é, \{\,x^2 : x\in\mathbb{R}\}.
Nesse caso, o menor valor de x^2 ocorre em x=0, dando y=0, e conforme |x|\to\infty, temos x^2\to\infty.
Portanto:
\text{Domínio} = \mathbb{R}, \qquad \text{Imagem} = [0,\infty).í

Passo 3

O gráfico de y=x^2 é uma parábola com as seguintes características:
  • Vértice em (0,0).
  • Eixo de simetria é a reta x=0 (eixo y).
  • Concavidade voltada para cima.
  • Única raiz em x=0, interceptando o eixo y em y=0.
Geometricamente, para valores de x positivos ou negativos, y cresce quadrático, formando aquela “taça” simétrica em torno do eixo y.

Passo 4

Para calcular a derivada de y(x)=x^2 usamos a regra da potência, que diz que
\frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1}.
Aqui n=2, então
y'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^2\bigr) = 2\,x^{2-1} = 2x.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)
Gráfico: parábola de vértice em (0,0), concavidade para cima e eixo de simetria x=0
Derivada: y'(x)=2x

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