Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar o domínio (valores de
para os quais a função está definida), a imagem (valores de
que a função atinge), esboçar o gráfico e, por fim, calcular a derivada
. Vamos usar propriedades de radicais para o domínio e imagem, noções de esboço de curva e regras de diferenciação (cadeia).
Passo 2
Para achar o domínio, exigimos que o radicando seja não-negativo:
Isto implica
Logo, o domínio é
Logo, o domínio é
Passo 3
Para obter a imagem, note que, ao variar
em
, o valor de
percorre
. Como a raiz quadrada retorna valores não-negativos, temos
Portanto, a imagem é
.
Passo 4
O gráfico de
é a “metade superior” de uma parábola virada para a esquerda. Características principais:
– Em ,
.
– Conforme ,
e
.
– A curva é monótona decrescente e côncava para baixo.
– Em
– Conforme
– A curva é monótona decrescente e côncava para baixo.
Esboço qualitativo:
Ponto inicial em
.
Ramo suave subindo indefinidamente à esquerda.
Passo 5
Para calcular a derivada, escrevemos
Aplicando a regra da cadeia,
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: curva monótona decrescente definida para , com ponto em
e que cresce sem limite conforme
.
Derivada:
Imagem:
Gráfico: curva monótona decrescente definida para
Derivada: