Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
y(x)=\sqrt{4-x}

Passo 1

O enunciado pede para a função
y(x)=\sqrt{4-x}
determinar o domínio (valores de x para os quais a função está definida), a imagem (valores de y que a função atinge), esboçar o gráfico e, por fim, calcular a derivada y'(x). Vamos usar propriedades de radicais para o domínio e imagem, noções de esboço de curva e regras de diferenciação (cadeia).

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o radicando seja não-negativo:
4 - x \ge 0
Isto implica x \le 4.
Logo, o domínio é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\le4\} = (-\infty,4].

Passo 3

Para obter a imagem, note que, ao variar x em (-\infty,4], o valor de 4-x percorre [0,\infty). Como a raiz quadrada retorna valores não-negativos, temos
y(x)=\sqrt{4-x}\in[0,\infty).
Portanto, a imagem é [0,\infty).

Passo 4

O gráfico de y=\sqrt{4-x} é a “metade superior” de uma parábola virada para a esquerda. Características principais:
– Em x=4, y=0.
– Conforme x\to -\infty, 4-x\to\infty e y\to\infty.
– A curva é monótona decrescente e côncava para baixo.
Esboço qualitativo: \bullet Ponto inicial em (4,0). \bullet Ramo suave subindo indefinidamente à esquerda.

Passo 5

Para calcular a derivada, escrevemos
y(x) = (4-x)^{\tfrac12}.
Aplicando a regra da cadeia,
y'(x) = \frac12\,(4-x)^{-\tfrac12}\,\bigl(-1\bigr) = -\frac{1}{2\sqrt{4-x}}.

Resposta

Domínio: (-\,\infty,\,4]
Imagem: [0,\,\infty)
Gráfico: curva monótona decrescente definida para x\le4, com ponto em (4,0) e que cresce sem limite conforme x\to -\infty.
Derivada:
y'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{4-x}}.

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