Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
y(x)=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para a função y(x)=\frac{1}{x} determinarmos o domínio, a imagem, fazermos um esboço do gráfico e, por fim, calcularmos a derivada. Para isso vamos usar:
– definição de domínio evitando divisão por zero;
– argumento inverso para achar a imagem;
– propriedades da hipérbole para descrever o gráfico;
– regra do poder para derivar x^{-1}.

Passo 2

Domínio: a função está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Logo,
\text{Domínio }D=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\} = (-\infty,0)\cup(0,\infty).í

Passo 3

Imagem: como y=\tfrac1x, para qualquer valor real y\neq0 existe x=\tfrac1y. Nunca há y=0. Logo,
\text{Imagem }I=\{y\in\mathbb{R}\mid y\neq0\} = (-\infty,0)\cup(0,\infty).

Passo 4

Gráfico: é uma hipérbole equilátera com assíntotas nas retas x=0 e y=0.
  • Para x>0, y>0 e o ramo decresce de +\infty a 0^+.
  • Para x<0, y<0 e o ramo cresce de -\infty a 0^-.
    As assíntotas verticais e horizontais tornam o esboço assim:
ramo em QIII ramo em QI
\ | / \ | /
\ | / \ | /
\ | / \ | /
\ | / \ | /
------±-----+ —> ------±-----+
/ | \ / | \
/ | \ / | \
/ | \ / | \
/ | \ / | \
onde a linha vertical é x=0 e a horizontal é y=0.

Passo 5

Derivada: reescrevemos y(x)=x^{-1} e aplicamos a regra do poder \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}. Assim,
y'(x) = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}},
valendo para x\neq0, mesmo domínio da função original.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty)
Imagem: (-\infty,0)\cup(0,\infty)
Gráfico: hipérbole com ramos nos quadrantes I e III e assíntotas x=0, y=0
Derivada: y'(x)=-\frac{1}{x^{2}}

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