Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinarmos o domínio, a imagem, fazermos um esboço do gráfico e, por fim, calcularmos a derivada. Para isso vamos usar:
– definição de domínio evitando divisão por zero;
– argumento inverso para achar a imagem;
– propriedades da hipérbole para descrever o gráfico;
– regra do poder para derivar .
– definição de domínio evitando divisão por zero;
– argumento inverso para achar a imagem;
– propriedades da hipérbole para descrever o gráfico;
– regra do poder para derivar
Passo 2
Domínio: a função está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Logo,
Passo 3
Imagem: como
, para qualquer valor real
existe
. Nunca há
. Logo,
Passo 4
Gráfico: é uma hipérbole equilátera com assíntotas nas retas
e
.
- Para
, e o ramo decresce de a . - Para
, e o ramo cresce de a .
As assíntotas verticais e horizontais tornam o esboço assim:
ramo em QIII ramo em QI
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------±-----+ —> ------±-----+
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------±-----+ —> ------±-----+
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onde a linha vertical é
e a horizontal é
.
Passo 5
Derivada: reescrevemos
e aplicamos a regra do poder
. Assim,
valendo para
, mesmo domínio da função original.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: hipérbole com ramos nos quadrantes I e III e assíntotas ,
Derivada:
Imagem:
Gráfico: hipérbole com ramos nos quadrantes I e III e assíntotas
Derivada: