Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
y(x)=\sqrt{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que analisemos a função
y(x) = \sqrt{1 - x^2}
determinando 1) o domínio, 2) a imagem, 3) o gráfico e em seguida 4) a derivada dessa função. O conteúdo que vamos usar inclui condições de existência de radicais, análise de extremos para obter a imagem, interpretação geométrica de curvas no plano e aplicação da regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Para existir \sqrt{1 - x^2} como número real, é preciso ter
1 - x^2 \ge 0
que equivale a
x^2 \le 1 \quad\Longrightarrow\quad -1 \le x \le 1.
Logo, o domínio é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid -1 \le x \le 1\}.

Passo 3

Na faixa x\in[-1,1], o valor de y é sempre não-negativo porque é raiz quadrada. Além disso:
– Em x=0 temos y(0)=\sqrt{1}=1, valor máximo.
– Em x=\pm1 temos y(\pm1)=0, valor mínimo.
Portanto, a imagem é
\{\,y\in\mathbb{R}\mid 0 \le y \le 1\}.

Passo 4

A curva definida pela equação y = \sqrt{1 - x^2} é exatamente a metade superior do círculo de raio 1 e centro na origem, pois a relação
x^2 + y^2 = 1, \quad y\ge 0
é a equação de um semicírculo acima do eixo x.

Passo 5

Para derivar y(x) = (1 - x^2)^{1/2}, usamos a regra da cadeia. Seja u(x)=1-x^2, então y = u^{1/2}. Temos
u'(x) = -2x, \qquad \frac{d}{du}\bigl(u^{1/2}\bigr) = \frac12\,u^{-1/2}.
Logo,
y'(x) = \frac12\,(1 - x^2)^{-1/2}\,\bigl(-2x\bigr) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}.
Esse resultado vale para x\in(-1,1), onde o denominador é não-nulo.

Resposta

Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid -1 \le x \le 1\}
Imagem: \{y\in\mathbb{R}\mid 0 \le y \le 1\}
Gráfico: semicírculo de raio 1 acima do eixo x, dado por
x^2 + y^2 = 1,\quad y\ge0.
Derivada:
y'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}},\quad x\in(-1,1).

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