Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
Passo 1
O enunciado pede que analisemos a função
determinando 1) o domínio, 2) a imagem, 3) o gráfico e em seguida 4) a derivada dessa função. O conteúdo que vamos usar inclui condições de existência de radicais, análise de extremos para obter a imagem, interpretação geométrica de curvas no plano e aplicação da regra da cadeia para derivar.
Passo 2
Para existir
como número real, é preciso ter
que equivale a
Logo, o domínio é
Passo 3
Na faixa
, o valor de
é sempre não-negativo porque é raiz quadrada. Além disso:
– Em temos
, valor máximo.
– Em temos
, valor mínimo.
Portanto, a imagem é
– Em
– Em
Portanto, a imagem é
Passo 4
A curva definida pela equação
é exatamente a metade superior do círculo de raio 1 e centro na origem, pois a relação
é a equação de um semicírculo acima do eixo
.
Passo 5
Para derivar
, usamos a regra da cadeia. Seja
, então
. Temos
Logo,
Esse resultado vale para
, onde o denominador é não-nulo.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: semicírculo de raio 1 acima do eixo , dado por
Imagem:
Gráfico: semicírculo de raio 1 acima do eixo
Derivada: