Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
Passo 1
Resumindo, precisamos analisar a função
e determinar seu domínio, sua imagem, esboçar o gráfico e calcular sua derivada. Para isso usamos a definição de logaritmo natural e propriedades de limites.
Passo 2
O argumento de
deve ser positivo, pois o logaritmo natural não está definido para
. Logo o domínio é
Passo 3
Para achar a imagem, observamos que
- quando
, , - quando
, .
Assimassume todo valor real, e a imagem é .
Passo 4
O gráfico de
é uma curva crescente e côncava para baixo, com assíntota vertical em
e que passa por
. Um esboço aproximado em ASCII:
y
↑
2 | .
1 | .
0 |_______.___.________→ x
\[012\]
-1 | .
-2 | .
|
Aqui vê-se que quando
se aproxima de zero a curva desce sem limite, e para grandes
cresce lentamente.
Passo 5
Para derivar, lembramos que a regra básica é
válido em todo
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: curva crescente e côncava para baixo, assíntota vertical em , passa por
.
Derivada: .
Imagem:
Gráfico: curva crescente e côncava para baixo, assíntota vertical em
Derivada: