Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
y(x)=\ln (x)

Passo 1

Resumindo, precisamos analisar a função
y(x)=\ln(x)
e determinar seu domínio, sua imagem, esboçar o gráfico e calcular sua derivada. Para isso usamos a definição de logaritmo natural e propriedades de limites.

Passo 2

O argumento de \ln(x) deve ser positivo, pois o logaritmo natural não está definido para x\le0. Logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}=(0,+\infty).

Passo 3

Para achar a imagem, observamos que
  • quando x\to0^+, \ln(x)\to-\infty,
  • quando x\to+\infty, \ln(x)\to+\infty.
    Assim \ln(x) assume todo valor real, e a imagem é \mathbb{R}.

Passo 4

O gráfico de y=\ln(x) é uma curva crescente e côncava para baixo, com assíntota vertical em x=0 e que passa por (1,0). Um esboço aproximado em ASCII:
 y
 ↑
 2 | .
 1 | .
 0 |_______.___.________→ x
\[012\]
 -1 | .
 -2 | .
 |
Aqui vê-se que quando x se aproxima de zero a curva desce sem limite, e para grandes x cresce lentamente.

Passo 5

Para derivar, lembramos que a regra básica é
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{x},
válido em todo x>0.

Resposta

Domínio: (0,+\infty)
Imagem: \mathbb{R}
Gráfico: curva crescente e côncava para baixo, assíntota vertical em x=0, passa por (1,0).
Derivada: \displaystyle y'(x)=\frac{1}{x}.

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