Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
y(x)=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o domínio, a imagem, esboce o gráfico e calcule a derivada da função
y(x)=e^{x}.
O conteúdo é a função exponencial de base e, que sabemos ser contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}, e tem valor sempre positivo.

Passo 2

Para achar o domínio, lembre que a exponencial e^{x} está bem definida para qualquer x\in\mathbb{R}, pois não envolve raiz de índice par ou logaritmo.
Logo, o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

A imagem de e^{x} são todos os valores que e^{x} pode assumir quando x varia em \mathbb{R}. Como e^{x}>0 para todo x e atinge valores arbitrariamente grandes (quando x\to+\infty) e valores arbitrariamente próximos de zero (quando x\to-\infty), a imagem é
(0,\infty).

Passo 4

O gráfico de y=e^{x} é uma curva suave que:
– Passa por (0,1).
– Tem assíntota horizontal y=0 quando x\to-\infty.
– Cresce indefinidamente conforme x\to+\infty.
– É sempre crescente e convexa.

Passo 5

Para derivar y=e^{x}, usamos a propriedade fundamental da exponencial natural, segundo a qual
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (0,\infty)
Gráfico: curva crescente que passa por (0,1), com assíntota horizontal y=0 à esquerda e crescimento ilimitado à direita.
Derivada: \displaystyle y' = e^{x}.

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