Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o domínio, a imagem, esboce o gráfico e calcule a derivada da função
O conteúdo é a função exponencial de base
, que sabemos ser contínua e diferenciável em todo
, e tem valor sempre positivo.
Passo 2
Para achar o domínio, lembre que a exponencial
está bem definida para qualquer
, pois não envolve raiz de índice par ou logaritmo.
Logo, o domínio é
Logo, o domínio é
Passo 3
A imagem de
são todos os valores que
pode assumir quando
varia em
. Como
para todo
e atinge valores arbitrariamente grandes (quando
) e valores arbitrariamente próximos de zero (quando
), a imagem é
Passo 4
O gráfico de
é uma curva suave que:
– Passa por .
– Tem assíntota horizontal quando
.
– Cresce indefinidamente conforme .
– É sempre crescente e convexa.
– Passa por
– Tem assíntota horizontal
– Cresce indefinidamente conforme
– É sempre crescente e convexa.
Passo 5
Para derivar
, usamos a propriedade fundamental da exponencial natural, segundo a qual
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: curva crescente que passa por , com assíntota horizontal
à esquerda e crescimento ilimitado à direita.
Derivada:
Imagem:
Gráfico: curva crescente que passa por
Derivada: