Forneça um exemplo de cada caso a seguir (diferente dos dados na sala de aula).
Uma operação binária que não seja comutativa mas seja associativa.
Sug: Procure operações em conjuntos pequenos (de três ou quatro elementos).
Uma operação binária que não seja comutativa mas seja associativa.
Sug: Procure operações em conjuntos pequenos (de três ou quatro elementos).
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de operação binária que seja associativa mas não comutativa. Vamos usar a definição de operação binária em um conjunto finito e verificar as duas propriedades explicitamente.
Passo 2
Considere o conjunto
e defina a operação
por
ou seja, o resultado é sempre o primeiro argumento. A tabela de Cayley é
Passo 3
Verificação da associatividade: para quaisquer
temos
Como
para todo
, a operação é associativa.
Passo 4
Verificação da não comutatividade: basta um contraexemplo. Tomemos
.
Como
, segue que
. Logo
não é comutativa.
Resposta
Um exemplo é o conjunto
com a operação
definida por
, que é associativa mas não comutativa.