Sejam
e
o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas no intervalo
, com as operações usuais de soma de funções e multiplicação de uma função por um escalar. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
.
.
Passo 1
O enunciado define
e o espaço vetorial
de todas as funções contínuas em
. Pede-se para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso precisamos checar que (i)
não é vazio, (ii) é fechado sob soma de funções e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a função zero, definida por
para todo
, pertence a
. De fato,
logo
não é vazio.
Passo 3
Sejam
. Então
e
. Para a soma
temos
Portanto
, e
é fechado sob soma.
Passo 4
Seja
e
. Para
vale
logo
, e
é fechado sob multiplicação escalar.
Resposta
Sim. O conjunto
é um subespaço vetorial de
.