Sejam I=[0,1] subset R e C(I) o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas no intervalo I, com as operações usuais de soma de funções e multiplicação de uma função por um escalar. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de C(I).
f in C(I): f(0)=f(1).

Passo 1

O enunciado define I=[0,1] e o espaço vetorial C(I) de todas as funções contínuas em I. Pede-se para verificar se o conjunto
V = ,fin C(I)mid f(0)=f(1)
é um subespaço de C(I). Para isso precisamos checar que (i) V não é vazio, (ii) é fechado sob soma de funções e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a função zero, definida por f(x)=0 para todo x, pertence a V. De fato,
f(0)=0=f(1),
logo V não é vazio.

Passo 3

Sejam f,gin V. Então f(0)=f(1) e g(0)=g(1). Para a soma h=f+g temos
h(0)=f(0)+g(0)=f(1)+g(1)=h(1)
Portanto f+gin V, e V é fechado sob soma.

Passo 4

Seja fin V e alphainR. Para alpha f vale
(alpha f)(0)=alpha,f(0)=alpha,f(1)=(alpha f)(1),
logo alpha fin V, e V é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

Sim. O conjunto fin C(I)mid f(0)=f(1) é um subespaço vetorial de C(I).

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