Considere as bases B=(1,0),(1,-1) e C=(0,1),(1,1) de R^2.
Qual a relação entre a matriz Q, de mudança da base C para B, com a matriz de mudança da base B para C? Use esta relação para determinar a matriz Q.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2:
B=b1=(1,0),,b2=(1,-1) e C=c1=(0,1),,c2=(1,1).
Queremos a relação entre a matriz de mudança de base de C para B, que chamamos de Q, e a matriz de mudança de base de B para C. O conteúdo é mudança de base e usam-se coordenadas de vetores em diferentes bases.

Passo 2

Em geral, se PUto V é a matriz que leva coordenadas em U para coordenadas em V, então
PVto U=l(PUto Vr)^-1
No nosso caso, como Q=PCto B e chamamos P=PBto C, vale
Q = l(PBto Cr)^-1

Passo 3

Vamos achar PBto C expressando cada vetor de B em coordenadas da base C.
Para b1=(1,0) buscamos x,y tais que
x,c1 + y,c2 = (1,0),
isto é
x,(0,1) + y,(1,1) = (y,;x+y) = (1,0)
Daí y=1 e x+y=0implies x=-1.
Para b2=(1,-1) igualamos
x,(0,1) + y,(1,1) = (1,-1),
obtendo y=1 e x+y=-1implies x=-2.
Logo,
PBto C = -1 & -2 ;1 & ;1 ,
onde a primeira coluna é a coordenada de b1 em C e a segunda a de b2.

Passo 4

Agora invertemos PBto C. O determinante é
det PBto C = (-1)cdot1 -(-2)cdot1 = -1+2 = 1
Assim
Q = PCto B = l(PBto Cr)^-1 = 1 & 2 -1 & -1

Resposta

Q = 1 & 2 -1 & -1

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