Forneça um exemplo detalhado de uma coleção de subconjuntos de
que é uma álgebra, mas não é uma
-álgebra.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de uma coleção
de subconjuntos de
que seja uma álgebra de conjuntos (ou seja, contenha
, seja fechada por complementos e uniões finitas) mas não seja uma
-álgebra (não é fechada por uniões contáveis). Vamos usar a ideia clássica da álgebra dos conjuntos finitos e co-finitos.
Passo 2
Lembrando as definições:
– Uma coleção é uma álgebra em
se
– Uma coleção
-
. - Para todo
tem-se . - Para todo par
tem-se .
– Uma-álgebra satisfaz tudo isso mais o fato de ser fechada por uniões contáveis.
Passo 3
Definimos
Mostramos que
é uma álgebra:
-
é finito, logo . Como , tem-se . - Se
é finito, então é co-finito (ou seja, está em ). Se é finito, então é co-finito. Logo é fechado por complementos. - Se
e são finitos, então é finito. Se um deles é co-finito, também é co-finito. Se ambos são co-finitos, então
interseção de finitos, que é finita, então
é co-finito. Assim
.
Logo
satisfaz os três requisitos de uma álgebra.
Passo 4
Para ver que
não é uma
-álgebra, basta encontrar uma sequência contável
cuja união não pertença a
. Por exemplo, tome
Cada
é finito, logo
. Mas
é o conjunto dos números pares, que é infinito e cujo complemento (os ímpares) também é infinito. Então
o que mostra que
não é fechada por uniões contáveis.
Resposta
Um exemplo é
Essa coleção é uma álgebra de conjuntos em
mas não é uma
-álgebra.