Forneça um exemplo detalhado de uma coleção de subconjuntos de Omega=N que é uma álgebra, mas não é uma sigma-álgebra.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de uma coleção A de subconjuntos de Omega = N que seja uma álgebra de conjuntos (ou seja, contenha Omega, seja fechada por complementos e uniões finitas) mas não seja uma sigma-álgebra (não é fechada por uniões contáveis). Vamos usar a ideia clássica da álgebra dos conjuntos finitos e co-finitos.

Passo 2

Lembrando as definições:
– Uma coleção A é uma álgebra em Omega se
  1. Omega in A.
  2. Para todo AinA tem-se A^cinA.
  3. Para todo par A,BinA tem-se Acup BinA.
    – Uma sigma-álgebra satisfaz tudo isso mais o fato de ser fechada por uniões contáveis.

Passo 3

Definimos
A = ,Asubseteq Nmid A é finito ou A^c é finito éé
Mostramos que A é uma álgebra:
  1. varnothing é finito, logo varnothinginA. Como N=varnothing^c, tem-se NinA.
  2. Se A é finito, então A^c é co-finito (ou seja, está em A). Se A^c é finito, então A=(A^c)^c é co-finito. Logo A é fechado por complementos.
  3. Se A e B são finitos, então Acup B é finito. Se um deles é co-finito, Acup B também é co-finito. Se ambos são co-finitos, então
(Acup B)^c = A^ccap B^c,
interseção de finitos, que é finita, então Acup B é co-finito. Assim Acup BinA.
Logo A satisfaz os três requisitos de uma álgebra.

Passo 4

Para ver que A não é uma sigma-álgebra, basta encontrar uma sequência contável (An)n>=1subsetA cuja união não pertença a A. Por exemplo, tome
An = 2n(n=1,2,3,dots)
Cada An é finito, logo AninA. Mas
cupn=1^infty An = 2,4,6,8,dots
é o conjunto dos números pares, que é infinito e cujo complemento (os ímpares) também é infinito. Então
cupn=1^infty AnnotinA,
o que mostra que A não é fechada por uniões contáveis.

Resposta

Um exemplo é
A = ,Asubseteq Nmid A é finito ou A^c é finito éé
Essa coleção é uma álgebra de conjuntos em N mas não é uma sigma-álgebra.

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