Forneça os exemplos abaixo.
Dois conjuntos abertos cuja união é um conjunto fechado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar dois conjuntos abertos cuja união forma um conjunto fechado. Isso envolve entender os conceitos de conjuntos abertos e conjuntos fechados na matemática, especificamente em topologia. Para resolver isso, vamos precisar saber o que são esses tipos de conjuntos e como eles se relacionam quando fazemos uniões entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são conjuntos abertos e fechados:
  • Conjunto Aberto: Em termos simples, um conjunto aberto é aquele que não inclui suas “bordas”. Por exemplo, no conjunto dos números reais, o intervalo (0,1) é aberto porque não inclui os pontos 0 e 1.
  • Conjunto Fechado: Um conjunto fechado inclui suas bordas. Usando o mesmo exemplo dos números reais, o intervalo [0,1] é fechado porque inclui os pontos 0 e 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dois conjuntos que são abertos individualmente, mas cuja união é fechada. Isso pode parecer um pouco contraintuitivo, já que a união de conjuntos abertos geralmente resulta em um conjunto aberto. Contudo, há casos específicos onde a união de conjuntos abertos pode formar um conjunto fechado, especialmente em espaços que têm conjuntos clopen, ou seja, conjuntos que são simultaneamente abertos e fechados.

Passo 4

Vamos considerar o espaço dos números reais com a topologia padrão (a que estamos acostumados no dia a dia). Nesse espaço, os únicos conjuntos que são ao mesmo tempo abertos e fechados (clopen) são o próprio conjunto todo e o conjunto vazio.

Passo 5

Portanto, um exemplo simples seria:
  • Conjunto A: Todo o conjunto dos números reais, ℝ. Ele é aberto porque não tem “bordas” em si, e também é fechado por ser o próprio espaço.
  • Conjunto B: O conjunto vazio, ∅. Este conjunto é considerado aberto e fechado.

Passo 6

Agora, vamos verificar a união desses dois conjuntos:
A cup B = ℝ cup ∅ = ℝ
Então, a união de A e B é novamente ℝ, que é um conjunto fechado no espaço das números reais.

Resposta

Um exemplo é tomar A como todo o conjunto dos números reais $ \mathbb{R} $ e B como o conjunto vazio $ \emptyset $. Ambos são abertos e sua união é $ \mathbb{R} \cup \emptyset = \mathbb{R} $, que é um conjunto fechado.

Exercícios relacionados