lim x 0 raiz3+cos ^2(x)-2x^2

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limx to 0 raiz3 + cos^2(x) - 2x^2
Trata-se de uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar expansões de Taylor em torno de x=0.

Passo 2

Expandir cos x até a ordem x^2:
cos x = 1 - x^22 + O(x^4)
Eleva-se ao quadrado para obter cos^2 x:
cos^2 x = l(1 - tfracx^22 + O(x^4)r)^2 = 1 - x^2 + O(x^4)

Passo 3

Substituir em raiz3 + cos^2 x. Defina
3 + cos^2 x = 4 - x^2 + O(x^4)
Como
raiz4 + u = 2 + u4 + O(u^2),
com u = -x^2 + O(x^4), segue
raiz3 + cos^2 x = raiz4 + l(-x^2 + O(x^4)r) = 2 + -x^24 + O(x^4) = 2 - x^24 + O(x^4)

Passo 4

Logo,
raiz3 + cos^2 x - 2 = -x^24 + O(x^4),
então
raiz3 + cos^2 x - 2x^2 = -14 + O(x^2)
Fazendo x to 0 obtemos
limx to 0 raiz3 + cos^2 x - 2x^2 = -14

Resposta

-14

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