Forneça um intervalo fechado que contenha o valor da integral dupla dada.
Passo 1
O enunciado fornece a integral dupla
e pede: fornecer um intervalo fechado que contenha o valor dessa integral.
Dados relevantes:
Dados relevantes:
- A região
é um retângulo de área . - A função integranda é
.
O objetivo é achar um intervalo fechadotal que
Passo 2
Observação sobre a integranda e estratégia:
- Para
tem-se que a função é decrescente, logo atinge seu máximo em e mínimo em . Portanto, para todo ,
- Como
é não negativo, ao multiplicar por obtemos uma desigualdade para a integranda inteira:
Explicação didática rápida: se uma função
fica entre
e
em um intervalo e outra função
é não-negativa, então
fica entre
e
. Aqui usamos isso com
e
.
Passo 3
Teorema de comparação para integrais (forma usada): se
em
e
são integráveis, então
Aplicando com
,
e
, obtemos
Passo 4
Calcular a integral inferior
. Como
é constante:
Agora calcule
separando integrais (ou integrando na ordem
):
Calcule a integral interna:
Portanto
Passo 5
Calcular a integral superior
(já obtida acima):
Assim, pelas desigualdades obtidas:
Passo 6
Comentário e verificação rápida (útil para prova): a integral pode também ser calculada exatamente por separação de variáveis porque
. Fazendo isso encontra-se o valor exato
que de fato pertence ao intervalo obtido
. Mas para o pedido original bastava o intervalo fechado.