Forneça um intervalo fechado que contenha o valor da integral dupla dada.
\quad \iint_{R} y e^{-x} d A, R=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 2\}

Passo 1

O enunciado fornece a integral dupla
\iint_{R} y e^{-x}\,dA, \qquad R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 2\},
e pede: fornecer um intervalo fechado que contenha o valor dessa integral.
Dados relevantes:
  • A região R é um retângulo de área (1-0)\cdot(2-0)=2.
  • A função integranda é f(x,y)=y e^{-x}.
    O objetivo é achar um intervalo fechado [a,b] tal que
a \le \iint_{R} y e^{-x}\,dA \le b.

Passo 2

Observação sobre a integranda e estratégia:
  • Para x\in[0,1] tem-se que a função x\mapsto e^{-x} é decrescente, logo atinge seu máximo em x=0 e mínimo em x=1. Portanto, para todo x\in[0,1],
e^{-1}\le e^{-x}\le 1.
  • Como y\in[0,2] é não negativo, ao multiplicar por y obtemos uma desigualdade para a integranda inteira:
y e^{-1}\le y e^{-x}\le y\qquad\text{para todo }(x,y)\in R.
Explicação didática rápida: se uma função g(x) fica entre m e M em um intervalo e outra função h(y) é não-negativa, então h(y)g(x) fica entre h(y)m e h(y)M. Aqui usamos isso com g(x)=e^{-x} e h(y)=y.

Passo 3

Teorema de comparação para integrais (forma usada): se m(x,y)\le f(x,y)\le M(x,y) em R e m,M são integráveis, então
\iint_R m(x,y)\,dA \le \iint_R f(x,y)\,dA \le \iint_R M(x,y)\,dA.
Aplicando com m(x,y)=y e^{-1}, f(x,y)=y e^{-x} e M(x,y)=y, obtemos
\iint_R y e^{-1}\,dA \le \iint_R y e^{-x}\,dA \le \iint_R y\,dA.

Passo 4

Calcular a integral inferior \iint_R y e^{-1}\,dA. Como e^{-1} é constante:
\iint_R y e^{-1}\,dA = e^{-1}\iint_R y\,dA.
Agora calcule \iint_R y\,dA separando integrais (ou integrando na ordem dy\,dx):
\iint_R y\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{2} y\,dy\right)dx.
Calcule a integral interna:
\int_{y=0}^{2} y\,dy = \left[\tfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \tfrac{2^{2}}{2}=2.
Portanto
\iint_R y e^{-1}\,dA = e^{-1}\cdot 2 = 2e^{-1}.

Passo 5

Calcular a integral superior \iint_R y\,dA (já obtida acima):
\iint_R y\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{2} y\,dy\right)dx = \int_{0}^{1} 2\,dx = 2.
Assim, pelas desigualdades obtidas:
2e^{-1} \le \iint_R y e^{-x}\,dA \le 2.

Passo 6

Comentário e verificação rápida (útil para prova): a integral pode também ser calculada exatamente por separação de variáveis porque y e^{-x}= (e^{-x})(y). Fazendo isso encontra-se o valor exato
\iint_R y e^{-x}\,dA = \left(\int_{0}^{1} e^{-x}\,dx\right)\left(\int_{0}^{2} y\,dy\right) = (1-e^{-1})\cdot 2 = 2(1-e^{-1})\approx 1,2642412,
que de fato pertence ao intervalo obtido [2e^{-1},\,2]. Mas para o pedido original bastava o intervalo fechado.

Resposta

[2e^{-1},\,2]

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