Forneça um intervalo fechado que contenha o valor da integral dupla dada.
Passo 1
O enunciado pede: “Forneça um intervalo fechado que contenha o valor da integral dupla”
Informações dadas:
- A região de integração é o retângulo
com variando de a e variando de a . - A função integranda é
. - A tarefa é fornecer um intervalo fechado (do tipo
) que contenha o valor da integral dupla.
Passo 2
Transformar a integral dupla em uma integral iterada e calcular a integral interna primeiro. Como a função é contínua no retângulo, podemos escrever
Agora vou calcular a integral interna
. Aqui
atua como constante quando integramos em
. Uma mudança de variável simples facilita:
defina . Então
, logo
.
Quando temos
. Quando
temos
.
Substituindo:
defina
Quando
Substituindo:
Isto elimina o
dentro do integrando e deixa uma integral elementar em
.
Passo 3
Calcular a integral
. A primitiva de
é
(pois
). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 4
Calcular a integral
. Uma primitiva de
é
(pois
). Assim,
Já temos uma expressão exata do valor da integral:
.
Passo 5
Agora transformar essa expressão exata num intervalo fechado que a contenha. Para isso podemos obter aproximações seguras de
e
usando séries de Taylor com estimativa do restante (isso dá um resultado que pode ser feito sem calculadora, pois os termos são racionais simples). Usando termos suficientes da série alternada de
(e a propriedade do resto alternado), obtemos aproximações:
Subtraindo,
Para ficar com um intervalo fechado simples e seguro que contenha esse valor, posso arredondar por excesso/defeito mantendo o número dentro do intervalo. Por exemplo, o intervalo
contém
, pois
.