Use a definição de derivadas parciais como limites para determinar f_{y}(x, y), onde f(x, y)=x^{2}- x y+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de f em relação a y usando a definição por limites. As informações dadas são:
  • A função é f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2}.
  • Deve-se usar a definição de derivada parcial como limite para obter f_{y}(x,y).
    Não há outras informações ou pontos específicos; o objetivo é obter a expressão geral de f_{y}(x,y).

Passo 2

Vamos recordar a definição de derivada parcial em relação a y. Ela mede a taxa de variação de f quando só y varia e x fica fixo. A definição é:
f_{y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Explicando cada símbolo:
  • f_{y}(x,y) é a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x,y).
  • h é um incremento pequeno aplicado a y.
  • No quociente, o numerador é a variação de f quando y vai para y+h, com x mantido constante.
  • O limite \lim_{h\to 0} significa que examinamos o quociente para incrementos h cada vez menores e vemos o valor que ele tende a assumir.

Passo 3

Agora aplicamos a definição substituindo f. Primeiro calculemos f(x,y+h). Substituindo y+h na expressão de f:
f(x,y+h)=x^{2}-x(y+h)+(y+h)^{2}.
Desenvolvendo os termos:
-x(y+h)=-x y - x h,
(y+h)^{2}=y^{2}+2y h+h^{2}.
Portanto,
f(x,y+h)=x^{2}-x y - x h + y^{2}+2y h+h^{2}.

Passo 4

Calculemos o numerador da definição:
f(x,y+h)-f(x,y).
Recordando f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2}, subtraímos:
\begin{aligned} f(x,y+h)-f(x,y) &= \bigl(x^{2}-x y - x h + y^{2}+2y h+h^{2}\bigr) - \bigl(x^{2}-x y+y^{2}\bigr)\\[4pt] &= - x h + 2y h + h^{2}. \end{aligned}
Note que os termos x^{2}, -x y e y^{2} cancelaram, restando apenas termos que contêm h.]

Passo 5

Agora formamos o quociente e simplificamos:
\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=\frac{- x h + 2y h + h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{- x h + 2y h + h^{2}}{h}=\frac{h(-x+2y+h)}{h}=-x+2y+h.

Passo 6

Tomamos o limite quando h\to 0:
f_{y}(x,y)=\lim_{h\to 0}(-x+2y+h)=-x+2y.
Portanto a derivada parcial em relação a y é -x+2y.

Passo 7

Interpretação e dica prática: como x é tratado como constante, ao derivar em relação a y fazemos a derivada usual em y de cada termo, lembrando que:
  • a derivada de x^{2} em relação a y é 0 (pois x^{2} não depende de y);
  • a derivada de -x y em relação a y é -x (coeficiente -x multiplicando y);
  • a derivada de y^{2} em relação a y é 2y.
    Isso dá o mesmo resultado: f_{y}(x,y)=-x+2y.

Resposta

-x+2y

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