Use a definição de derivadas parciais como limites para determinar
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
usando a definição por limites. As informações dadas são:
- A função é
. - Deve-se usar a definição de derivada parcial como limite para obter
.
Não há outras informações ou pontos específicos; o objetivo é obter a expressão geral de.
Passo 2
Vamos recordar a definição de derivada parcial em relação a
. Ela mede a taxa de variação de
quando só
varia e
fica fixo. A definição é:
Explicando cada símbolo:
-
é a derivada parcial de em relação a no ponto . -
é um incremento pequeno aplicado a . - No quociente, o numerador é a variação de
quando vai para , com mantido constante. - O limite
significa que examinamos o quociente para incrementos cada vez menores e vemos o valor que ele tende a assumir.
Passo 3
Agora aplicamos a definição substituindo
. Primeiro calculemos
. Substituindo
na expressão de
:
Desenvolvendo os termos:
Portanto,
Passo 4
Calculemos o numerador da definição:
Recordando
, subtraímos:
Note que os termos
,
e
cancelaram, restando apenas termos que contêm
.]
Passo 5
Agora formamos o quociente e simplificamos:
Fatorando
no numerador:
Passo 6
Tomamos o limite quando
:
Portanto a derivada parcial em relação a
é
.
Passo 7
Interpretação e dica prática: como
é tratado como constante, ao derivar em relação a
fazemos a derivada usual em
de cada termo, lembrando que:
- a derivada de
em relação a é (pois não depende de ); - a derivada de
em relação a é (coeficiente multiplicando ); - a derivada de
em relação a é .
Isso dá o mesmo resultado:.