Forneça a solução geral da equação diferencial de 2ª ordem não-homogênea date, pelo Método de Coeficientes a Determinar.
2 d^2 yd x^2+5 d yd x-3 y=2 x+3 e^-2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não– homogênea pelo método dos coeficientes a determinar. O que precisamos fazer é 1 achar a solução homogênea associada, resolvendo a equação característica, e 2 encontrar uma solução particular para cada termo do segundo membro 2x e 3e^-2x.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada:
2y'' + 5y' - 3y = 0
Formamos a equação característica
2r^2 + 5r - 3 = 0,
cuja raiz é
r = -5 pm raiz25 + 244 = -5 pm 74,
logo r1 = tfrac12 e r2 = -3. Assim,
yh(x) = C1 e^x/2 + C2 e^-3x

Passo 3

Para o termo polinomial 2x no segundo membro, adotamos o palpite
yp1(x) = Ax + B
Então
yp1' = A, yp1'' = 0,
e a substituição em 2y''+5y'-3y
2cdot 0 + 5A - 3(Ax+B) = -3A,x + (5A - 3B)
Isso deve ser igual a 2x + 0, gerando o sistema
-3A = 2, 5A - 3B = 0
Daí A = -tfrac23 e B = -tfrac109.

Passo 4

Para o termo exponencial 3e^-2x, escolhemos
yp2(x) = C e^-2x
Calculamos
yp2' = -2C e^-2x, yp2'' = 4C e^-2x,
e substituímos:
2cdot 4C e^-2x + 5(-2C e^-2x) - 3C e^-2x = (8C - 10C - 3C)e^-2x = -5C,e^-2x
Igualando a 3e^-2x obtém– se -5C = 3 e, portanto, C = -tfrac35.

Passo 5

A solução particular completa é a soma de yp1 e yp2:
yp(x) = -tfrac23,x ;-;tfrac109;-;tfrac35e^-2x
Logo, a solução geral da equação é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x/2 + C2 e^-3x - tfrac23,x - tfrac109 - tfrac35e^-2x

Resposta

y(x) = C1 e^x/2 + C2 e^-3x - 23,x - 109 - 35e^-2x

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