Forneça a solução geral da equação diferencial de 2ª ordem não-homogênea date, pelo Método de Coeficientes a Determinar.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não– homogênea pelo método dos coeficientes a determinar. O que precisamos fazer é
achar a solução homogênea associada, resolvendo a equação característica, e
encontrar uma solução particular para cada termo do segundo membro
e
.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea associada:
Formamos a equação característica
cuja raiz é
logo
e
. Assim,
Passo 3
Para o termo polinomial
no segundo membro, adotamos o palpite
Então
e a substituição em
dá
Isso deve ser igual a
, gerando o sistema
Daí
e
.
Passo 4
Para o termo exponencial
, escolhemos
Calculamos
e substituímos:
Igualando a
obtém– se
e, portanto,
.
Passo 5
A solução particular completa é a soma de
e
:
Logo, a solução geral da equação é