Encontre a solução geral das equaçōes diferenciais a seguir
y^prime prime+49 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 49,y = 0
O conteúdo aqui é usar a equação característica para encontrar as raízes e, a partir delas, montar a solução geral.

Passo 2

Substituímos y=e^r x na equação e obtemos a equação característica
r^2 + 49 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica para r, temos
r^2 = -49 Longrightarrow r = pm 7,i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r = 0 pm 7,i, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^0cdot xcos(7x) + C2 e^0cdot xsin(7x)
ou seja
y(x) = C1 cos(7x) + C2 sin(7x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 cos(7x) + C2 sin(7x)

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