Analise a expressão abaixo:
x(t)=a sen(t)-b cos ai(t)
Considerando a expressão dada acima, avalie a seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A função dada na expressão é uma solução geral de uma equação diferencial.
PORQUE
II. Ao derivarmos a função dada de acordo com o grau da equação diferencial, chegaremos exatamente na expressão que a representa.
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
  • A asserção I é uma proposição falsa e, a ll é uma proposição verdadeira.
  • As asserções I e II são proposições falsas.
  • As assercoes I e ll sao proposicoes verdadeiras, e a ll el uma justificativa da I.
  • As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a ll não é uma justificativa da I.
  • A asserção l é uma proposição verdadeira e, a ll é uma proposição falsa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma função dada por:
x(t) = a cdot sin(t) - b cdot cos(t)
(Mas acho que tinha um pequeno erro de digitação aí com o ai(t), então consideramos que seja cos(t).)
O que estão perguntando é se essa função x(t) é uma solução geral de uma equação diferencial e se derivando ela da forma certa a gente chega na equação diferencial que ela resolve. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como encontramos soluções para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, especialmente aquelas que envolvem funções trigonométricas como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma solução geral de uma equação diferencial. Uma solução geral inclui todas as soluções possíveis da equação, geralmente envolvendo constantes arbitrárias como a e b.
No caso de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, a forma geral das soluções depende das raízes características da equação auxiliar. Se as raízes forem complexas, as soluções envolvem funções seno e cosseno.
Nossa função x(t) = a cdot sin(t) - b cdot cos(t) se parece com isso, sugerindo que pode ser a solução geral de uma equação diferencial com raízes complexas.

Passo 3

Vamos verificar a asserção I:
I. A função dada na expressão é uma solução geral de uma equação diferencial.
Pelo que vimos, sim, x(t) parece ser uma solução geral de uma equação diferencial do tipo y'' + y = 0, onde a solução geral é y(t) = A cdot sin(t) + B cdot cos(t). Então, a asserção I é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos para a asserção II:
II. Ao derivarmos a função dada de acordo com o grau da equação diferencial, chegaremos exatamente na expressão que a representa.
Se considerarmos a equação diferencial y'' + y = 0, vamos derivar x(t) duas vezes:
Primeira derivada:
x'(t) = a cdot cos(t) + b cdot sin(t)
Segunda derivada:
x''(t) = -a cdot sin(t) + b cdot cos(t)
Agora, substituindo na equação x''(t) + x(t) = 0:
(-a cdot sin(t) + b cdot cos(t)) + (a cdot sin(t) - b cdot cos(t)) = 0
Os termos se cancelam, confirmando que x(t) satisfaz a equação diferencial. Portanto, a asserção II também é verdadeira.

Resposta

As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.

Exercícios relacionados