Forneça a solução geral da equação diferencial de 2^a ordem não-homogênea dada, pelo Método de Coeficientes a Determinar.
2 d^2 yd x^2+5 d yd x-3 y=3 e^4 x

Passo 1

Temos a EDO linear não-homogênea de segunda ordem 2d^2ydx^2+5dydx-3y=3e^4xO conteúdo aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e o método de coeficientes a determinar. Vamos achar primeiro a solução homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea associada 2y''+5y'-3y=0montamos o polinômio característico 2r^2+5r-3=0O discriminante é De, então as raízes são r1=tfrac-5+74=tfrac12 e r2=tfrac-5-74=-3. Logo a solução homogênea é yh(x)=C1e^x/2+C2e^-3x.

Passo 3

O termo não-homogêneo é 3e^4x. Como 4 não coincide com as raízes 1/2 e -3, supomos uma solução particular do tipo yp(x)=Ae^4x.

Passo 4

Calculamos as derivadas da proposta: yp'=4Ae^4x e yp''=16Ae^4x. Substituindo em 2y''+5y'-3y obtemos 2cdot16Ae^4x+5cdot4Ae^4x-3Ae^4x=(32+20-3)Ae^4x=49Ae^4xIgualando a 3e^4x vem 49A=3 e portanto A=3/49.

Passo 5

A solução geral da equação é a soma das partes homogênea e particular: y(x)=yh(x)+yp(x)=C1e^x/2+C2e^-3x+349e^4x

Resposta

y(x)=C1e^x/2+C2e^-3x+349e^4x

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