Seja A=[ll1 & 1 0 & 1].
Demonstre o resultado obtido acima por indução.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo n, temos
A^n = 1 & n[6pt]0 & 1,
onde
A = 1 & 1[6pt]0 & 1
Vamos usar o princípio da indução matemática para provar isso.

Passo 2

Primeiro, verificamos a base da indução. Para n=1, temos
A^1 = A = 1 & 1[6pt]0 & 1,
o que coincide exatamente com a fórmula A^n = 1 & n[3pt]0 & 1 quando inserimos n=1.

Passo 3

Agora, formulamos a hipótese de indução. Suponha que para algum k >= 1 valha
A^k = 1 & k[6pt]0 & 1

Passo 4

No passo indutivo, mostramos que a validade para k implica a validade para k+1. Calculamos:
A^k+1 = A^k,A = 1 & k[6pt]0 & 11 & 1[6pt]0 & 1 = 1cdot1 + kcdot0 & 1cdot1 + kcdot1[6pt]0cdot1 + 1cdot0 & 0cdot1 + 1cdot1 = 1 & k+1[6pt]0 & 1
Isso mostra que, se a fórmula vale para n=k, então também vale para n=k+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, como a base n=1 e o passo indutivo estão comprovados, concluímos que a fórmula vale para todo inteiro n >= 1.

Resposta

A^n = 1 & n[6pt]0 & 1, n=1,2,3,dots

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