Seja
.
Demonstre o resultado obtido acima por indução.
Demonstre o resultado obtido acima por indução.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo
, temos
onde
Vamos usar o princípio da indução matemática para provar isso.
Passo 2
Primeiro, verificamos a base da indução. Para
, temos
o que coincide exatamente com a fórmula
quando inserimos
.
Passo 3
Agora, formulamos a hipótese de indução. Suponha que para algum
valha
Passo 4
No passo indutivo, mostramos que a validade para
implica a validade para
. Calculamos:
Isso mostra que, se a fórmula vale para
, então também vale para
.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, como a base
e o passo indutivo estão comprovados, concluímos que a fórmula vale para todo inteiro
.