GRUPO 02 (PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO) ( 1,2 PONTOS)
ESCOLHA APENAS 1 QUESTAAO
Para fazer um cilindro circular reto de um retângulo de folha de aço colam-se duas bordas paralelas da folha. Para dar rigidez ao cilindro cola-se um arame de comprimento l ao longo da diagonal do retângulo. Ache a tangente do ângulo formado pela diagonal e o lado não colado, de tal modo que o cilindro tenha volume máximo.

Passo 1

A questão pede para montar um cilindro a partir de um retângulo de dimensões “a” (altura) e “b” (largura), colando as bordas de comprimento “a” e depois aplicar um arame de comprimento l ao longo da diagonal do retângulo. O conteúdo é otimização com restrição e precisamos usar relações trigonométricas para expressar as dimensões em função do ângulo theta entre a diagonal e o lado “b” (não colado).

Passo 2

Denotando por a a altura do cilindro e b a circunferência de base, temos o comprimento da diagonal do retângulo dado por raiza^2 + b^2 = l.

Passo 3

Definimos theta como o ângulo entre a diagonal e o lado b. Da definição de tangente segue:
tantheta = ab

Passo 4

Da relação raiza^2 + b^2 = l e a/b = tantheta podemos escrever:
b = lcostheta, a = lsintheta

Passo 5

O volume do cilindro é V = pi r^2 h, onde r = b/(2pi) e h = a. Assim:
V = pil(lcostheta2pir)^2,(lsintheta) = l^34pi,(cos^2theta,sintheta)

Passo 6

Para maximizar V basta maximizar f(theta)=cos^2thetasintheta. Colocando x=sintheta, temos f=x(1-x^2) e
f'(x)=1-3x^2=0 Longrightarrow x=1raiz3 Logo sintheta=1/raiz3.

Passo 7

Como tantheta=sintheta/costheta e costheta=raiz1-1/3=raiz2/3, obtemos
tantheta=1/raiz3raiz2/3=1raiz2

Resposta

tantheta = 1raiz2.

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