GRUPO 02 (PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO) ( 1,2 PONTOS)
ESCOLHA APENAS 1 QUESTAAO
Para fazer um cilindro circular reto de um retângulo de folha de aço colam-se duas bordas paralelas da folha. Para dar rigidez ao cilindro cola-se um arame de comprimento
ao longo da diagonal do retângulo. Ache a tangente do ângulo formado pela diagonal e o lado não colado, de tal modo que o cilindro tenha volume máximo.
ESCOLHA APENAS 1 QUESTAAO
Para fazer um cilindro circular reto de um retângulo de folha de aço colam-se duas bordas paralelas da folha. Para dar rigidez ao cilindro cola-se um arame de comprimento
Passo 1
A questão pede para montar um cilindro a partir de um retângulo de dimensões “a” (altura) e “b” (largura), colando as bordas de comprimento “a” e depois aplicar um arame de comprimento
ao longo da diagonal do retângulo. O conteúdo é otimização com restrição e precisamos usar relações trigonométricas para expressar as dimensões em função do ângulo
entre a diagonal e o lado “b” (não colado).
Passo 2
Denotando por
a altura do cilindro e
a circunferência de base, temos o comprimento da diagonal do retângulo dado por
.
Passo 3
Definimos
como o ângulo entre a diagonal e o lado
. Da definição de tangente segue:
Passo 4
Da relação
e
podemos escrever:
Passo 5
O volume do cilindro é
, onde
e
. Assim:
Passo 6
Para maximizar
basta maximizar
. Colocando
, temos
e
Passo 7
Como
e
, obtemos