O fornecedor de material para fabricação dos resistores foi substituído e é possível que a qualidade do produto tenha sido alterada. Para investigar esta situação, os engenheiros colheram uma amostra aleatória com 100 resistores.
a) A probabilidade de que a média desta amostra esteja entre
e
é
.
b) Determine um intervalo com
de confiança para a resistência média desta amostra:
.
a) A probabilidade de que a média desta amostra esteja entre
b) Determine um intervalo com
Passo 1
O enunciado dá que foi coletada uma amostra aleatória com
resistores e pede duas coisas:
- (a) A probabilidade de que a média amostral esteja entre
e . - (b) Um intervalo de confiança com
para a resistência média desta amostra.
Informações explicitamente fornecidas: apenas o tamanho da amostra
.
Informações que faltam (e são necessárias para obter respostas numéricas):
- Para (a) precisamos conhecer a média populacional
e o desvio padrão populacional , ou ao menos a média amostral e o desvio amostral se quisermos aproximar. - Para (b) precisamos da média amostral
e do desvio padrão populacional (se este for conhecido) ou do desvio amostral (se desconhecido).
Como o enunciado não traz
,
,
nem
, não há dados numéricos suficientes para calcular resultados numéricos finais sem assumir valores adicionais. Nas próximas etapas eu explico passo a passo como se resolve cada item quando tivermos os dados, e mostro um exemplo numérico ilustrativo usando suposições explícitas.
Passo 2
Conceito central (explicado devagar e sem enrolação): quando tomamos uma amostra aleatória de tamanho
de uma população com média
e desvio padrão
, a média amostral
tem distribuição aproximada normal para
grande (isso vem do resultado clássico sobre distribuição de médias). A distribuição de
tem:
Aqui
é a esperança (média) da média amostral, e
é o erro padrão da média (às vezes chamado simplesmente de “erro padrão”).
Quando
é desconhecido e
não é muito grande, usa-se a distribuição
com
graus de liberdade; mas para
grande, a distribuição
e a normal padrão são praticamente iguais, então é comum usar a normal padrão (valores
) mesmo quando
é estimado por
.
Passo 3
Queremos a probabilidade
Usando a padronização (transformar
em uma
padrão), obtemos
onde
é uma variável normal padrão
. Portanto a resposta numérica depende de
e
: primeiro calcula-se os dois quantis
depois avalia-se
onde
é a função de distribuição da normal padrão (tabela
). Sem
e
não é possível dar um número.
Passo 4
Vou mostrar um exemplo prático para você ver o procedimento — isto é só um exemplo, eu estou supondo valores que não vieram no enunciado.
Suponha hipoteticamente que a média populacional seja
e o desvio padrão populacional seja
. Com
temos o erro padrão
Então
A probabilidade é
ou seja aproximadamente
. Esse é o clássico resultado de que uma amplitude de
erro padrão em torno da média engloba cerca de
das médias amostrais — mas atenção: esse número só vale se
e
forem realmente os usados aqui (no enunciado não foram fornecidos).
Passo 5
O intervalo de confiança de
para a média tem, em geral, a forma
onde:
-
é a média observada na amostra (valor que o enunciado deveria fornecer), -
é o erro padrão, igual a se for conhecido, ou se for desconhecido (onde é o desvio amostral), - o “quantil” é
(da normal) se usamos normal, ou se usamos .
Para
de confiança temos
e
. O quantil da normal padrão é aproximadamente
Assim, se
for conhecido,
Se
for desconhecido e usarmos
(com
grande), podemos aproximar por
Note que para obter os números concretos precisamos de
e de
ou
; o enunciado não fornece esses valores, logo não dá para apresentar o intervalo numérico final.
Passo 6
Mostro um exemplo para ficar claro: suponha que a amostra deu
e que o desvio (populacional conhecido ou amostral) seja
— novamente, isto é apenas um exemplo hipotético para ilustrar os cálculos. Com
temos
e a margem de erro é
Portanto o intervalo de confiança
ficaria
Mas reforço: esse intervalo só vale se
e
; como o enunciado não dá
nem
, não podemos aceitar esse resultado como resposta do problema real — é apenas um exemplo pedagógico.
Passo 7
- Para (a): preciso de
e (ou, se preferir, dos valores amostrais e e usar aproximação). Com esses cálculos eu transformo os extremos e em escores e consulto . - Para (b): preciso de
e de ou . Com e calculo .
Se você me passar qualquer uma destas informações (por exemplo
e
, ou
e
), eu monto as contas numéricas completas do jeito que mostrei e te dou a resposta final prontinha para a prova — rapidinho e com jeitinho.
Resposta
(a) Não é possível calcular numericamente: o enunciado não fornece
e
(ou
e
), necessários para avaliar
.
(b) Não é possível determinar numericamente o intervalo de : falta a média amostral
e o desvio (
conhecido ou
amostral).
(b) Não é possível determinar numericamente o intervalo de