(1,0) O fornecedor de material para fabricação dos resistores foi substituído e é possível que a qualidade do produto tenha sido alterada. Para investigar esta situação, os engenheiros colheram uma amostra aleatória com 100 resistores.
a) A probabilidade de que a média desta amostra esteja entre 999 \Omega e 1001 \Omega é \_\_\_\_ .
b) Determine um intervalo com 90 \% de confiança para a resistência média desta amostra: \_\_\_\_ .

Passo 1

O enunciado dá que foi coletada uma amostra aleatória com n=100 resistores e pede duas coisas:
  • (a) A probabilidade de que a média amostral esteja entre 999\\ \Omega e 1001\\ \Omega.
  • (b) Um intervalo de confiança com 90\% para a resistência média desta amostra.
Informações explicitamente fornecidas: apenas o tamanho da amostra n=100.
Informações que faltam (e são necessárias para obter respostas numéricas):
  • Para (a) precisamos conhecer a média populacional \mu e o desvio padrão populacional \sigma, ou ao menos a média amostral \bar{x} e o desvio amostral s se quisermos aproximar.
  • Para (b) precisamos da média amostral \bar{x} e do desvio padrão populacional \sigma (se este for conhecido) ou do desvio amostral s (se \sigma desconhecido).
Como o enunciado não traz \mu, \sigma, \bar{x} nem s, não há dados numéricos suficientes para calcular resultados numéricos finais sem assumir valores adicionais. Nas próximas etapas eu explico passo a passo como se resolve cada item quando tivermos os dados, e mostro um exemplo numérico ilustrativo usando suposições explícitas.

Passo 2

Conceito central (explicado devagar e sem enrolação): quando tomamos uma amostra aleatória de tamanho n de uma população com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \bar{X} tem distribuição aproximada normal para n grande (isso vem do resultado clássico sobre distribuição de médias). A distribuição de \bar{X} tem:
\text{E}(\bar{X})=\mu,\qquad \text{SD}(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui \text{E}(\bar{X}) é a esperança (média) da média amostral, e \text{SD}(\bar{X}) é o erro padrão da média (às vezes chamado simplesmente de “erro padrão”).
Quando \sigma é desconhecido e n não é muito grande, usa-se a distribuição t com n-1 graus de liberdade; mas para n=100 grande, a distribuição t e a normal padrão são praticamente iguais, então é comum usar a normal padrão (valores z) mesmo quando \sigma é estimado por s.

Passo 3

Queremos a probabilidade
P\bigl(999<\bar{X}<1001\bigr).
Usando a padronização (transformar \bar{X} em uma Z padrão), obtemos
P\bigl(999<\bar{X}<1001\bigr) = P\!\left(\frac{999-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} < Z < \frac{1001-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right),
onde Z é uma variável normal padrão N(0,1). Portanto a resposta numérica depende de \mu e \sigma: primeiro calcula-se os dois quantis
z_1=\frac{999-\mu}{\sigma/\sqrt{n}},\qquad z_2=\frac{1001-\mu}{\sigma/\sqrt{n}},
depois avalia-se
P\bigl(999<\bar{X}<1001\bigr)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão (tabela Z). Sem \mu e \sigma não é possível dar um número.

Passo 4

Vou mostrar um exemplo prático para você ver o procedimento — isto é só um exemplo, eu estou supondo valores que não vieram no enunciado.
Suponha hipoteticamente que a média populacional seja \mu=1000\\ \Omega e o desvio padrão populacional seja \sigma=10\\ \Omega. Com n=100 temos o erro padrão
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{100}}=\frac{10}{10}=1\\ \Omega.
Então
z_1=\frac{999-1000}{1}=-1,\qquad z_2=\frac{1001-1000}{1}=1.
A probabilidade é
\Phi(1)-\Phi(-1)=0{,}8413447-0{,}1586553\approx0{,}6826894,
ou seja aproximadamente 68{,}27\%. Esse é o clássico resultado de que uma amplitude de \pm1 erro padrão em torno da média engloba cerca de 68\% das médias amostrais — mas atenção: esse número só vale se \mu e \sigma forem realmente os usados aqui (no enunciado não foram fornecidos).

Passo 5

O intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para a média tem, em geral, a forma
\bar{x}\pm \text{(quantil)}\times\text{SE},
onde:
  • \bar{x} é a média observada na amostra (valor que o enunciado deveria fornecer),
  • \text{SE} é o erro padrão, igual a \sigma/\sqrt{n} se \sigma for conhecido, ou s/\sqrt{n} se \sigma for desconhecido (onde s é o desvio amostral),
  • o “quantil” é z_{1-\alpha/2} (da normal) se usamos normal, ou t_{1-\alpha/2,n-1} se usamos t.
Para 90\% de confiança temos \alpha=0{,}10 e 1-\alpha/2=0{,}95. O quantil da normal padrão é aproximadamente
z_{0{,}95}\approx 1{,}645.
Assim, se \sigma for conhecido,
\text{IC}_{90\%}:\quad \bar{x}\pm 1{,}645\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Se \sigma for desconhecido e usarmos s (com n=100 grande), podemos aproximar por
\text{IC}_{90\%}:\quad \bar{x}\pm 1{,}645\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Note que para obter os números concretos precisamos de \bar{x} e de \sigma ou s; o enunciado não fornece esses valores, logo não dá para apresentar o intervalo numérico final.

Passo 6

Mostro um exemplo para ficar claro: suponha que a amostra deu \bar{x}=1000\\ \Omega e que o desvio (populacional conhecido ou amostral) seja \sigma=10\\ \Omega — novamente, isto é apenas um exemplo hipotético para ilustrar os cálculos. Com n=100 temos \text{SE}=1\\ \Omega e a margem de erro é
1{,}645\times 1 = 1{,}645\\ \Omega.
Portanto o intervalo de confiança 90\% ficaria
[1000-1{,}645,\\\ 1000+1{,}645] = [998{,}355,\\\ 1001{,}645]\\ \Omega.
Mas reforço: esse intervalo só vale se \bar{x}=1000 e \sigma=10; como o enunciado não dá \bar{x} nem \sigma, não podemos aceitar esse resultado como resposta do problema real — é apenas um exemplo pedagógico.

Passo 7

  • Para (a): preciso de \mu e \sigma (ou, se preferir, dos valores amostrais \bar{x} e s e usar aproximação). Com esses cálculos eu transformo os extremos 999 e 1001 em escores z e consulto \Phi.
  • Para (b): preciso de \bar{x} e de \sigma ou s. Com \bar{x} e \text{SE} calculo \bar{x}\pm 1{,}645\cdot\text{SE}.
Se você me passar qualquer uma destas informações (por exemplo \bar{x} e s, ou \mu e \sigma), eu monto as contas numéricas completas do jeito que mostrei e te dou a resposta final prontinha para a prova — rapidinho e com jeitinho.

Resposta

(a) Não é possível calcular numericamente: o enunciado não fornece \mu e \sigma (ou \bar{x} e s), necessários para avaliar \Phi\!\bigl(\tfrac{1001-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\bigr)-\Phi\!\bigl(\tfrac{999-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\bigr).
(b) Não é possível determinar numericamente o intervalo de 90\%: falta a média amostral \bar{x} e o desvio ( \sigma conhecido ou s amostral).

Exercícios relacionados