(3) Um fabricante produz resistores com resistência descrita por uma variável aleatória normal com média
e desvio padrão
.
a) A função densidade de probabilidade associada à variável aleatória normal
é
.
com
e
. A variável aleatória padronizada
possui função densidade de probabilidade
. Escreva a expressão para
.
b) A probabilidade de que um resistor selecionado aleatoriamente tenha resistência inferior a
é
.
c) A probabilidade que um resistor selecionado aleatoriamente possua resistência superior a
é
.
d) A probabilidade de que um resistor selecionado aleatoriamente tenha resistência entre
e
é
.
e) Por segurança, a empresa decide descartar os resistores com menor resistência. Serão descartados 5% dos resistores, justamente aqueles com resistência inferior a
.
f) Espera-se que um resistor selecionado aleatoriamente pertença, com aproximadamente
de confiança, ao intervalo de
a
.
a) A função densidade de probabilidade associada à variável aleatória normal
b) A probabilidade de que um resistor selecionado aleatoriamente tenha resistência inferior a
c) A probabilidade que um resistor selecionado aleatoriamente possua resistência superior a
d) A probabilidade de que um resistor selecionado aleatoriamente tenha resistência entre
e) Por segurança, a empresa decide descartar os resistores com menor resistência. Serão descartados 5% dos resistores, justamente aqueles com resistência inferior a
f) Espera-se que um resistor selecionado aleatoriamente pertença, com aproximadamente
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
que representa a resistência dos resistores, com distribuição normal de média e desvio padrão:
Também nos é apresentada a forma geral da densidade normal
As perguntas pedem, em ordem:
a) escrever a função densidade da variável aleatória padronizada ;
b) calcular ;
c) calcular ;
d) calcular ;
e) achar o valor de resistência abaixo do qual ficam os menores resistores (quantil de 5%);
f) dar o intervalo central que contém aproximadamente dos resistores.
a) escrever a função densidade da variável aleatória padronizada
b) calcular
c) calcular
d) calcular
e) achar o valor de resistência abaixo do qual ficam os
f) dar o intervalo central que contém aproximadamente
Não começo a resolver ainda — só organizei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Vamos definir a variável padronizada. Quando temos uma normal
definimos
Isto transforma
numa normal com média
e desvio padrão
. A densidade da normal padrão (ou seja, da variável
) é a forma da densidade normal com
e
. Escrevendo explicitamente: a densidade de
é
Explicando cada símbolo:
é o valor da variável padronizada; o fator
normaliza a área sob a curva para
; o expoente
descreve a forma de sino da normal padrão.
Passo 3
Como vamos calcular probabilidades, convém lembrar a função de distribuição acumulada da normal padrão:
Usamos propriedades úteis:
(pela simetria da normal) e
Na prática consultamos uma tabela de
ou usamos valores conhecidos aproximados que frequentemente aparecem em provas:
Vou usar esses valores para calcular as probabilidades pedidas. Sempre que calcular uma probabilidade de
converto para
pelo z-score
Passo 4
Calcular a parte (b). Primeiro faço o z-score para
:
Então
Usando a simetria:
Portanto a probabilidade pedida é
(aproximadamente
).
Passo 5
Calcular a parte (c). Primeiro o z-score para
:
Queremos
.
Usamos que .
Pela simetria , então
Usamos que
Pela simetria
Logo
(ou
).
Passo 6
Calcular a parte (d). Para os limites
e
calculo os z-scores:
Assim
Usando simetria
, obtemos
Substituindo
:
Portanto a probabilidade é aproximadamente
(ou
).
Passo 7
Calcular a parte (e) — quantil de
. Queremos
tal que
Em termos de
isso é
O quantil corresponde a
(valor padrão da tabela para 5% à esquerda). Então
Portanto serão descartados os resistores com resistência inferior a aproximadamente
.
Passo 8
Calcular a parte (f). A regra empírica (e propriedades da normal) diz que cerca de
da distribuição normal está dentro de
desvios-padrão da média. Formalmente:
Aqui
e
, então o intervalo é
Logo o intervalo é de
a
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f) a
b)
c)
d)
e)
f)