(3) Um fabricante produz resistores com resistência descrita por uma variável aleatória normal com média 1000 \Omega e desvio padrão 10 \Omega.
a) A função densidade de probabilidade associada à variável aleatória normal X é f(x).
f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}
com \mu=1000 e \sigma=10. A variável aleatória padronizada Z possui função densidade de probabilidade f(z). Escreva a expressão para f(z).
f(z)=
\_\_\_\_
b) A probabilidade de que um resistor selecionado aleatoriamente tenha resistência inferior a 995 \Omega é \_\_\_\_ .
c) A probabilidade que um resistor selecionado aleatoriamente possua resistência superior a 985 \Omega é \_\_\_\_ .
d) A probabilidade de que um resistor selecionado aleatoriamente tenha resistência entre 980 \Omega e 1020 \Omega é \_\_\_\_ .
e) Por segurança, a empresa decide descartar os resistores com menor resistência. Serão descartados 5% dos resistores, justamente aqueles com resistência inferior a
\_\_\_\_ \Omega.
f) Espera-se que um resistor selecionado aleatoriamente pertença, com aproximadamente 99,7 \% de confiança, ao intervalo de \_\_\_\_ \Omega a \_\_\_\_ \Omega.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X que representa a resistência dos resistores, com distribuição normal de média e desvio padrão:
\mu = 1000,\qquad \sigma = 10.
Também nos é apresentada a forma geral da densidade normal
f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.
As perguntas pedem, em ordem:
a) escrever a função densidade da variável aleatória padronizada Z;
b) calcular \mathbb{P}(X<995);
c) calcular \mathbb{P}(X>985);
d) calcular \mathbb{P}(980<X<1020);
e) achar o valor de resistência abaixo do qual ficam os 5\% menores resistores (quantil de 5%);
f) dar o intervalo central que contém aproximadamente 99,7\% dos resistores.
Não começo a resolver ainda — só organizei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos definir a variável padronizada. Quando temos uma normal \,X\sim N(\mu,\sigma^2)\, definimos
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Isto transforma X numa normal com média 0 e desvio padrão 1. A densidade da normal padrão (ou seja, da variável Z) é a forma da densidade normal com \mu=0 e \sigma=1. Escrevendo explicitamente: a densidade de Z é
f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}.
Explicando cada símbolo: \,z é o valor da variável padronizada; o fator \frac{1}{\sqrt{2\pi}} normaliza a área sob a curva para 1; o expoente -\tfrac{z^{2}}{2} descreve a forma de sino da normal padrão.

Passo 3

Como vamos calcular probabilidades, convém lembrar a função de distribuição acumulada da normal padrão:
\Phi(a)=\mathbb{P}(Z\le a)=\int_{-\infty}^{a}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2}\,dt.
Usamos propriedades úteis:
\Phi(-a)=1-\Phi(a)
(pela simetria da normal) e
\mathbb{P}(Z>a)=1-\Phi(a).
Na prática consultamos uma tabela de \Phi ou usamos valores conhecidos aproximados que frequentemente aparecem em provas:
\Phi(0{,}5)\approx 0{,}6915,\quad \Phi(1{,}5)\approx 0{,}9332,\quad \Phi(2)\approx 0{,}97725,\quad \Phi(1{,}645)\approx 0{,}95,\quad \Phi(3)\approx 0{,}99865.
Vou usar esses valores para calcular as probabilidades pedidas. Sempre que calcular uma probabilidade de X converto para Z pelo z-score
z=\frac{x-\mu}{\sigma}.

Passo 4

Calcular a parte (b). Primeiro faço o z-score para x=995:
z=\frac{995-1000}{10}=\frac{-5}{10}=-0{,}5.
Então
\mathbb{P}(X<995)=\mathbb{P}\!\left(Z< -0{,}5\right)=\Phi(-0{,}5).
Usando a simetria:
\Phi(-0{,}5)=1-\Phi(0{,}5)=1-0{,}6915=0{,}3085.
Portanto a probabilidade pedida é \,0{,}3085 (aproximadamente 30{,}85\%).

Passo 5

Calcular a parte (c). Primeiro o z-score para x=985:
z=\frac{985-1000}{10}=\frac{-15}{10}=-1{,}5.
Queremos \mathbb{P}(X>985)=\mathbb{P}\!\left(Z>-1{,}5\right).
Usamos que \mathbb{P}(Z>-1{,}5)=1-\mathbb{P}(Z\le -1{,}5)=1-\Phi(-1{,}5).
Pela simetria \Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5), então
\mathbb{P}(Z>-1{,}5)=1-(1-\Phi(1{,}5))=\Phi(1{,}5)\approx 0{,}9332.
Logo \mathbb{P}(X>985)\approx 0{,}9332 (ou 93{,}32\%).

Passo 6

Calcular a parte (d). Para os limites 980 e 1020 calculo os z-scores:
z_1=\frac{980-1000}{10}=-2,\qquad z_2=\frac{1020-1000}{10}=2.
Assim
\mathbb{P}(980<X<1020)=\mathbb{P}(-2<Z<2)=\Phi(2)-\Phi(-2).
Usando simetria \Phi(-2)=1-\Phi(2), obtemos
\Phi(2)-\Phi(-2)=\Phi(2)-(1-\Phi(2))=2\Phi(2)-1.
Substituindo \Phi(2)\approx 0{,}97725:
2\cdot 0{,}97725-1=0{,}9545.
Portanto a probabilidade é aproximadamente 0{,}9545 (ou 95{,}45\%).

Passo 7

Calcular a parte (e) — quantil de 5\%. Queremos x tal que
\mathbb{P}(X<x)=0{,}05.
Em termos de Z isso é
\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0{,}05.
O quantil corresponde a z_{0{,}05}\approx -1{,}645 (valor padrão da tabela para 5% à esquerda). Então
\frac{x-1000}{10}=-1{,}645 \quad\Rightarrow\quad x=1000-1{,}645\cdot 10=1000-16{,}45=983{,}55\\ \Omega.
Portanto serão descartados os resistores com resistência inferior a aproximadamente \,983{,}55\\ \Omega.

Passo 8

Calcular a parte (f). A regra empírica (e propriedades da normal) diz que cerca de 99{,}7\% da distribuição normal está dentro de \pm 3 desvios-padrão da média. Formalmente:
\mathbb{P}(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)\approx 99{,}7\%.
Aqui \mu=1000 e \sigma=10, então o intervalo é
1000-3\cdot 10=1000-30=970,\qquad 1000+3\cdot 10=1000+30=1030.
Logo o intervalo é de 970\\ \Omega a 1030\\ \Omega.

Resposta

a) \displaystyle f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}
b) \displaystyle 0{,}3085
c) \displaystyle 0{,}9332
d) \displaystyle 0{,}9545
e) \displaystyle 983{,}55\\ \Omega
f) \displaystyle 970\\ \Omega a \displaystyle 1030\\ \Omega

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