(1) A função densidade de probabilidade de probabilidade (ou distribuição de probabilidade) de uma variável aleatória
é
a) Calcule a probabilidade
b) O valor esperado (ou média) da variável aleatória é
b) O valor esperado (ou média) da variável aleatória é
Passo 1
O enunciado dá a função densidade
As perguntas são:
a) Calcular a probabilidade .\n
b) Calcular o valor esperado .]
a) Calcular a probabilidade
b) Calcular o valor esperado
Passo 2
Conceito e método para a letra (a): para uma variável contínua com densidade
, a probabilidade de
estar em um intervalo
é dada por
Aqui devemos integrar
no intervalo
até
. Vou montar a integral correspondente.
Passo 3
Montagem e cálculo da integral para a probabilidade:
Agora calculamos a primitiva de
. Uma primitiva é
. Portanto
Passo 4
Avaliação numérica da expressão obtida:
Calculo em :
Calculo em
Calculo em
:
Diferença:
Multiplicando por
:
Passo 5
Verificação rápida (boa prática): é útil checar que a densidade está normalizada, ou seja
. Computando
logo a função é uma densidade válida.
Passo 6
Conceito e método para a letra (b): o valor esperado de
é
Como
é zero fora de
, basta integrar de
a
:
Passo 7
Cálculo da integral para
: achamos uma primitiva de
. Uma primitiva é
. Assim
Avaliação em
:
Avaliação em
:
Diferença:
Multiplicando por
:
Passo 8
Recap rápido e dica de prova: para probabilidades em variáveis contínuas, sempre integrar a densidade no intervalo pedido. Para esperança, integrar
no suporte. Faça as primitivas passo a passo e avalie os limites com cuidado nas contas; checar normalização ajuda a evitar erros.