(1) A função densidade de probabilidade de probabilidade (ou distribuição de probabilidade) de uma variável aleatória X é
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{8}(5-x), & 1 \leq x \leq 5 \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array}\right.á
a) Calcule a probabilidade P(1<x<2,6)= \_\_\_\_
b) O valor esperado (ou média) da variável aleatória é \mu_{X}= \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado dá a função densidade
f(x)=\begin{cases} \frac{1}{8}(5-x), & 1 \le x \le 5,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
As perguntas são:
a) Calcular a probabilidade \;P(1<x<2{,}6).\n
b) Calcular o valor esperado \;\mu_{X}=E[X].]

Passo 2

Conceito e método para a letra (a): para uma variável contínua com densidade f(x), a probabilidade de X estar em um intervalo (a,b) é dada por
P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui devemos integrar f(x)=\frac{1}{8}(5-x) no intervalo 1 até 2{,}6. Vou montar a integral correspondente.

Passo 3

Montagem e cálculo da integral para a probabilidade:
P(1<X<2{,}6)=\int_{1}^{2{,}6}\frac{1}{8}(5-x)\,dx =\frac{1}{8}\int_{1}^{2{,}6}(5-x)\,dx.
Agora calculamos a primitiva de 5-x. Uma primitiva é 5x-\dfrac{x^{2}}{2}. Portanto
P(1<X<2{,}6)=\frac{1}{8}\left[5x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2{,}6}.

Passo 4

Avaliação numérica da expressão obtida:
Calculo em x=2{,}6:
5x-\frac{x^{2}}{2}\Big|_{x=2{,}6}=5\cdot2{,}6-\frac{(2{,}6)^{2}}{2}=13{,}0-\frac{6{,}76}{2}=13{,}0-3{,}38=9{,}62.
Calculo em x=1:
5x-\frac{x^{2}}{2}\Big|_{x=1}=5-\frac{1}{2}=4{,}5.
Diferença:
9{,}62-4{,}5=5{,}12.
Multiplicando por 1/8:
P(1<X<2{,}6)=\frac{5{,}12}{8}=0{,}64.

Passo 5

Verificação rápida (boa prática): é útil checar que a densidade está normalizada, ou seja \int_{1}^{5}f(x)\,dx=1. Computando
\int_{1}^{5}\frac{1}{8}(5-x)\,dx=\frac{1}{8}\left[5x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{5} =\frac{1}{8}\big((25-\tfrac{25}{2})-(5-\tfrac{1}{2})\big)=\frac{1}{8}(12{,}5-4{,}5)=\frac{8}{8}=1,
logo a função é uma densidade válida.

Passo 6

Conceito e método para a letra (b): o valor esperado de X é
\mu_{X}=E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx.
Como f(x) é zero fora de [1,5], basta integrar de 1 a 5:
\mu_{X}=\int_{1}^{5} x\cdot\frac{1}{8}(5-x)\,dx =\frac{1}{8}\int_{1}^{5}(5x-x^{2})\,dx.

Passo 7

Cálculo da integral para E[X]: achamos uma primitiva de 5x-x^{2}. Uma primitiva é \dfrac{5}{2}x^{2}-\dfrac{1}{3}x^{3}. Assim
\mu_{X}=\frac{1}{8}\left[\frac{5}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{1}^{5}.
Avaliação em x=5:
\frac{5}{2}\cdot5^{2}-\frac{1}{3}\cdot5^{3}=\frac{5}{2}\cdot25-\frac{1}{3}\cdot125=\frac{125}{2}-\frac{125}{3}=\frac{375-250}{6}=\frac{125}{6}.
Avaliação em x=1:
\frac{5}{2}\cdot1^{2}-\frac{1}{3}\cdot1^{3}=\frac{5}{2}-\frac{1}{3}=\frac{15-2}{6}=\frac{13}{6}.
Diferença:
\frac{125}{6}-\frac{13}{6}=\frac{112}{6}=\frac{56}{3}.
Multiplicando por 1/8:
\mu_{X}=\frac{1}{8}\cdot\frac{56}{3}=\frac{56}{24}=\frac{7}{3}\approx 2{,}333\ldots

Passo 8

Recap rápido e dica de prova: para probabilidades em variáveis contínuas, sempre integrar a densidade no intervalo pedido. Para esperança, integrar x f(x) no suporte. Faça as primitivas passo a passo e avalie os limites com cuidado nas contas; checar normalização ajuda a evitar erros.

Resposta

P(1<X<2{,}6)=0{,}64\n
\mu_{X}=\dfrac{7}{3}

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