Um forno de alvenaria com formato cúbico deve manter seu interior a 500^{\circ} \mathrm{C}, com auxílio de uma resistência elétrica de 5 kW . Todas as suas paredes podem ser consideradas isoladas, exceto uma, que é fabricada com tijolo refratário ( \mathrm{k}=1,6 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) e possui área de 0,5 \mathrm{~m}^{2}. Considerando que o ar exterior está a 35^{\circ} \mathrm{C}, qual a espessura mínima desta parede para que a resistência elétrica seja suficiente para manter o forno na temperatura desejada?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem ainda resolver nada):
  • Temperatura interna do forno: T_i = 500^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar externo: T_o = 35^\circ\mathrm{C}.
  • Potência da resistência elétrica disponível: \dot Q_{\text{disponível}} = 5\\ \mathrm{kW} = 5000\\ \mathrm{W}í.
  • Apenas uma parede não está isolada; essa parede é de tijolo refratário com condutividade térmica k = 1,6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Área dessa parede: A = 0,5\\ \mathrm{m}^2.
  • O que o problema pergunta: determinar a espessura mínima L dessa parede para que a resistência de 5\\ \mathrm{kW} seja suficiente para manter T_i (isto é, para que as perdas por essa parede não excedam 5000\\ \mathrm{W}).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e claras):
  • Em regime estacionário e assumindo condução unidimensional através de uma parede plana homogênea (condutividade k constante), a taxa de calor (potência) que atravessa a parede é dada pela lei de Fourier no caso macroscópico:
\dot Q = \frac{k\,A\,(T_i - T_o)}{L}.
Explanação das variáveis:
  • \dot Q é a potência térmica transferida através da parede (em \mathrm{W}).
  • k é a condutividade térmica do material (em \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}); mede a capacidade do material de conduzir calor.
  • A é a área da parede (em \mathrm{m}^2) pela qual o calor flui.
  • T_i-T_o é a diferença de temperatura entre os dois lados (em ^\circ\mathrm{C} ou K; a diferença é numericamente a mesma).
  • L é a espessura da parede (em \mathrm{m}) — o que queremos achar.
Breve motivo físico: em regime estacionário a temperatura ao longo da espessura é linear (quando k é constante), então o gradiente de temperatura é (T_i-T_o)/L e o fluxo é k vezes esse gradiente; multiplicando pelo A vem a potência.

Passo 3

Relação entre a potência disponível e a perda térmica:
  • O enunciado diz que todas as outras paredes estão isoladas, então toda a perda de calor do interior ocorre por essa única parede (hipótese implícita). Portanto, para manter a temperatura interna, a resistência deve fornecer pelo menos a potência que sai por essa parede. Assim impomos
\dot Q = \dot Q_{\text{disponível}} = 5000\\ \mathrm{W}.í
  • Isolando L na fórmula da condução obtemos:
L = \frac{k\,A\,(T_i - T_o)}{\dot Q}.
Esta é a expressão para a espessura necessária de modo que, dado k,A,T_i,T_o, a perda seja igual à potência disponível.

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo (sem pular contas):
  • Primeiro a diferença de temperatura:
T_i - T_o = 500 - 35 = 465\\ \mathrm{K}.
  • Produto k\cdot A:
k\cdot A = 1,6\cdot 0,5 = 0,8\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}\times\mathrm{m}^2 = 0,8\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{K}.
  • Numerador da expressão para L:
kA(T_i-T_o) = 0,8\cdot 465 = 372\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}.
(cheque rápido: 0,8\times 400 = 320, 0,8\times 65 = 52, soma 320+52=372.)
  • Finalmente:
L = \frac{372}{5000} = 0{,}0744\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
L = 7{,}44\\ \mathrm{cm}.
Observação didática e prática: aqui foi usada a hipótese mais simples — que a resistência precisa compensar exatamente a condução através da parede até a temperatura externa T_o. Se o enunciado exigisse modelar a troca convectiva entre a face exterior da parede e o ar ambiente (incluindo um coeficiente de convecção h), então apareceriam duas resistências em série (condução no tijolo e convecção na superfície) e a espessura necessária seria maior; para aplicar esse modelo seria preciso conhecer h, que não foi fornecido. Por isso usamos o modelo direto de condução com a diferença de temperaturas dadas.

Passo 5

Interpretação final e checagens rápidas:
  • Unidade e ordem de grandeza: L saiu como 0{,}0744\\ \mathrm{m}, ou seja cerca de 7{,}4\\ \mathrm{cm}, que é uma espessura plausível para uma parede refratária.
  • Se fosse necessário arredondar para projeto prático, poderia-se adotar L \approx 7{,}5\\ \mathrm{cm} para ter uma margem pequena de segurança, lembrando que a inclusão de convecção externa, fugas, juntas, etc., tenderia a aumentar a espessura necessária.

Resposta

L = 0,0744\\ \mathrm{m} \approx 7,44\\ \mathrm{cm}

Exercícios relacionados