Um forno de alvenaria com formato cúbico deve manter seu interior a
, com auxílio de uma resistência elétrica de 5 kW . Todas as suas paredes podem ser consideradas isoladas, exceto uma, que é fabricada com tijolo refratário (
) e possui área de
. Considerando que o ar exterior está a
, qual a espessura mínima desta parede para que a resistência elétrica seja suficiente para manter o forno na temperatura desejada?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem ainda resolver nada):
- Temperatura interna do forno:
. - Temperatura do ar externo:
. - Potência da resistência elétrica disponível:
. - Apenas uma parede não está isolada; essa parede é de tijolo refratário com condutividade térmica
. - Área dessa parede:
. - O que o problema pergunta: determinar a espessura mínima
dessa parede para que a resistência de seja suficiente para manter (isto é, para que as perdas por essa parede não excedam ).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e claras):
- Em regime estacionário e assumindo condução unidimensional através de uma parede plana homogênea (condutividade
constante), a taxa de calor (potência) que atravessa a parede é dada pela lei de Fourier no caso macroscópico:
Explanação das variáveis:
-
é a potência térmica transferida através da parede (em ). -
é a condutividade térmica do material (em ); mede a capacidade do material de conduzir calor. -
é a área da parede (em ) pela qual o calor flui. -
é a diferença de temperatura entre os dois lados (em ou K; a diferença é numericamente a mesma). -
é a espessura da parede (em ) — o que queremos achar.
Breve motivo físico: em regime estacionário a temperatura ao longo da espessura é linear (quando
é constante), então o gradiente de temperatura é
e o fluxo é
vezes esse gradiente; multiplicando pelo
vem a potência.
Passo 3
Relação entre a potência disponível e a perda térmica:
- O enunciado diz que todas as outras paredes estão isoladas, então toda a perda de calor do interior ocorre por essa única parede (hipótese implícita). Portanto, para manter a temperatura interna, a resistência deve fornecer pelo menos a potência que sai por essa parede. Assim impomos
- Isolando
na fórmula da condução obtemos:
Esta é a expressão para a espessura necessária de modo que, dado
, a perda seja igual à potência disponível.
Passo 4
Cálculo numérico passo a passo (sem pular contas):
- Primeiro a diferença de temperatura:
- Produto
:
- Numerador da expressão para
:
(cheque rápido:
,
, soma
.)
- Finalmente:
Convertendo para centímetros:
Observação didática e prática: aqui foi usada a hipótese mais simples — que a resistência precisa compensar exatamente a condução através da parede até a temperatura externa
. Se o enunciado exigisse modelar a troca convectiva entre a face exterior da parede e o ar ambiente (incluindo um coeficiente de convecção
), então apareceriam duas resistências em série (condução no tijolo e convecção na superfície) e a espessura necessária seria maior; para aplicar esse modelo seria preciso conhecer
, que não foi fornecido. Por isso usamos o modelo direto de condução com a diferença de temperaturas dadas.
Passo 5
Interpretação final e checagens rápidas:
- Unidade e ordem de grandeza:
saiu como , ou seja cerca de , que é uma espessura plausível para uma parede refratária. - Se fosse necessário arredondar para projeto prático, poderia-se adotar
para ter uma margem pequena de segurança, lembrando que a inclusão de convecção externa, fugas, juntas, etc., tenderia a aumentar a espessura necessária.