Um muro de concreto ( \mathrm{k}=1,75 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) de 25 cm de espessura isola o ambiente interno de um galpão a 25^{\circ} \mathrm{C} do ambiente externo a 40^{\circ} \mathrm{C}. Assumindo que as paredes do galpão possuem, ao todo, 150 \mathrm{~m}^{2} de área superficial, e considerando que o teto e o piso são completamente isolados, quantos aparelhos de ar-condicionado de 12.000 BTU/h seriam necessários para manter o ambiente interno na temperatura desejada?
Obs.: considere que a única forma de transferência de calor ocorre através das paredes.
1 \mathrm{BTU} / \mathrm{h}=0,293 \mathrm{~W}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Pedido: determinar quantos aparelhos de ar-condicionado de 12 000 BTU/h são necessários para manter a temperatura interna do galpão em 25^\circ\mathrm{C} quando a externa é 40^\circ\mathrm{C}.
  • Hipóteses/condições dadas:
    • Condutividade térmica do concreto: k=1{,}75\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
    • Espessura da parede: 25\\ \mathrm{cm}.
    • Área total das paredes (por onde ocorre a troca de calor): A=150\\ \mathrm{m}^2.
    • Temperatura interna: T_{\text{in}}=25^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura externa: T_{\text{out}}=40^\circ\mathrm{C}.
    • Considerar que a única forma de transferência de calor é por condução através das paredes (teto e piso isolados).
    • Potência de um ar-condicionado: 12\,000\\ \mathrm{BTU}/\mathrm{h}.
    • Conversão: 1\\ \mathrm{BTU}/\mathrm{h}=0{,}293\\ \mathrm{W}.

Passo 2

Apresentar a fórmula que descreve a condução estacionária unidirecional através de uma parede plana (regra básica que usaremos).
  • A lei de Fourier para condução em regime permanente, com condutividade k e gradiente de temperatura constante na parede, dá a taxa de calor (potência) transferida:
\dot{Q} = k\,A\,\frac{\Delta T}{L},
onde:
  • \dot{Q} é a taxa de calor (potência) em watts ( \mathrm{W}),
  • k é a condutividade térmica do material em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}),
  • A é a área pela qual ocorre a troca em \mathrm{m}^2,
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre fora e dentro em kelvin (ou graus Celsius, pois diferenças são iguais: \Delta T = T_{\text{out}}-T_{\text{in}}),
  • L é a espessura da parede em metros.
Explicação curta: a fórmula é obtida integrando \dot q_x = -k\,\mathrm{d}T/\mathrm{d}x num caso com gradiente linear. Aqui usaremos a magnitude da potência, então tomamos \Delta T positivo quando T_{\text{out}}>T_{\text{in}}.

Passo 3

Converter unidades e calcular os parâmetros numéricos que entram na fórmula.
  • Espessura: 25\\ \mathrm{cm} = 0{,}25\\ \mathrm{m}. Então L=0{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de temperatura: \Delta T = T_{\text{out}}-T_{\text{in}} = 40^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}=15\\ \mathrm{K}.
  • A área já está em \mathrm{m}^2: A=150\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Aplicar a fórmula da condução para calcular a potência térmica que entra no galpão pelas paredes.
Colocar os números na fórmula:
\dot{Q} = k\,A\,\frac{\Delta T}{L} = 1{,}75 \times 150 \times \frac{15}{0{,}25}.
Fazer passo a passo a conta:
1{,}75\times150 = 262{,}5,
262{,}5\times15 = 3\,937{,}5,
\dot{Q} = \frac{3\,937{,}5}{0{,}25} = 15\,750\\ \mathrm{W}.
Portanto, a vazão de calor através das paredes é \dot{Q}=15\,750\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Converter a potência de um ar-condicionado de 12\,000\\ \mathrm{BTU}/\mathrm{h} para watts, usando a conversão dada.
P_{\text{AC}} = 12\,000\times 0{,}293\\ \mathrm{W} = 3\,516\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Determinar quantos aparelhos são necessários dividindo a potência térmica a compensar pela potência de um aparelho e arredondando para cima (não se pode ter fração de aparelho).
N = \frac{\dot{Q}}{P_{\text{AC}}} = \frac{15\,750}{3\,516} \approx 4{,}48.
Como não é possível usar 0{,}48 de um aparelho, é preciso arredondar para cima para garantir que a carga térmica seja totalmente atendida.

Resposta

5 aparelhos de ar-condicionado de 12\,000\\ \mathrm{BTU}/\mathrm{h}

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