O fósforo branco \left(\mathrm{P}_{4}\right) é uma substância muito empregada para finalidades bélicas, na confecção de bombas incendiárias e granadas luminosas. Ele é
obtido pelo aquecimento, em forno elétrico, de fosfato de cálcio, areia e coque. A equação química é:
\mathrm{Ca}_{3}\left(\mathrm{PO}_{4}\right)_{2}+\mathrm{SiO}_{2}+\mathrm{C} \longrightarrow \mathrm{CaSiO}_{3}+\mathrm{CO}+\mathrm{P}_{4}
Os coeficientes estequiométricos da equação, respectivamente, são:
a) 1,3,2,3,2 e 1 .
b) 2,6,10,6,8 e 1 .
c) 1, 3, 5, 3, 5 e 1.
d) 2,6,10,6,10 e 1 .

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar os coeficientes estequiométricos inteiros (menores possíveis) da reação
\mathrm{Ca}_{3}\left(\mathrm{PO}_{4}\right)_{2}+\mathrm{SiO}_{2}+\mathrm{C} \longrightarrow \mathrm{CaSiO}_{3}+\mathrm{CO}+\mathrm{P}_{4}
Lista das informações relevantes dadas:
  • Os reagentes são \mathrm{Ca}_{3}(\mathrm{PO}_{4})_{2}, \mathrm{SiO}_{2} e \mathrm{C}.
  • Os produtos são \mathrm{CaSiO}_{3}, \mathrm{CO} e \mathrm{P}_{4}.
  • Deve haver conservação de átomos de cada elemento (Ca, P, Si, O, C).
  • Queremos coeficientes inteiros, na menor proporção possível.

Passo 2

Vamos atribuir incógnitas aos coeficientes (uma prática padrão e clara):
\begin{aligned} & a\\ \mathrm{Ca}_{3}(\mathrm{PO}_{4})_{2}\\\ +\\ b\\ \mathrm{SiO}_{2}\\\ +\\ c\\ \mathrm{C}\\ \longrightarrow\\ d\\ \mathrm{CaSiO}_{3}\\\ +\\ e\\ \mathrm{CO}\\\ +\\ f\\ \mathrm{P}_{4} \end{aligned}
Significado de cada variável:
  • a é o coeficiente de \mathrm{Ca}_{3}(\mathrm{PO}_{4})_{2}.
  • b é o coeficiente de \mathrm{SiO}_{2}.
  • c é o coeficiente de \mathrm{C}.
  • d é o coeficiente de \mathrm{CaSiO}_{3}.
  • e é o coeficiente de \mathrm{CO}.
  • f é o coeficiente de \mathrm{P}_{4}.
Explicação rápida do método: vamos escrever uma equação de conservação de átomos para cada elemento envolvido (Ca, P, Si, O, C). Cada equação relaciona os coeficientes e depois resolvemos o sistema procurando a menor solução inteira positiva.

Passo 3

Montando as equações de conservação atômica. Contagem de átomos por espécie:
  • Cálcio ( \mathrm{Ca}):
    • À esquerda: cada \mathrm{Ca}_{3}(\mathrm{PO}_{4})_{2} tem 3 átomos de Ca, então 3a.
    • À direita: cada \mathrm{CaSiO}_{3} tem 1 Ca, então d.
      Equação:
    3a = d.
  • Fósforo ( \mathrm{P}):
    • À esquerda: \mathrm{Ca}_{3}(\mathrm{PO}_{4})_{2} tem 2 grupos \mathrm{PO}_{4}, cada um com 1 P, logo 2a átomos de P.
    • À direita: \mathrm{P}_{4} tem 4 átomos de P por molécula, logo 4f.
      Equação:
    2a = 4f.
  • Silício ( \mathrm{Si}):
    • À esquerda: b moléculas de \mathrm{SiO}_{2} têm b átomos de Si.
    • À direita: d unidades de \mathrm{CaSiO}_{3} têm d átomos de Si.
      Equação:
    b = d.
  • Carbono ( \mathrm{C}):
    • À esquerda: c átomos (do carvão \mathrm{C}).
    • À direita: cada \mathrm{CO} tem 1 C, logo e.
      Equação:
    c = e.
  • Oxigênio ( \mathrm{O}):
    • À esquerda: \mathrm{Ca}_{3}(\mathrm{PO}_{4})_{2} tem 2 grupos \mathrm{PO}_{4} com 4 O cada = 8a; \mathrm{SiO}_{2} tem 2 O cada = 2b. Total à esquerda: 8a+2b.
    • À direita: \mathrm{CaSiO}_{3} tem 3 O por unidade = 3d; \mathrm{CO} tem 1 O = e. Total à direita: 3d+e.
      Equação:
    8a + 2b = 3d + e.
Agora temos o sistema:
\begin{cases} 3a = d,\\[4pt] 2a = 4f,\\[4pt] b = d,\\[4pt] c = e,\\[4pt] 8a + 2b = 3d + e. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema por passos simples (preferindo relações diretas primeiro):
Da equação \;2a = 4f\; podemos simplificar dividindo por 2:
a = 2f.
Isto diz que a é o dobro de f. Para achar coeficientes inteiros mínimos, escolhemos a menor f positiva possível, que é f=1. Assim:
f = 1 \quad\Rightarrow\quad a = 2.
(Escolher f=1 é padrão: busca-se a solução inteira menor que satisfaça todas as relações.)
Agora use \;3a = d\;:
d = 3a = 3\cdot 2 = 6.
E de \;b = d\;:
b = 6.

Passo 5

Usar a equação do oxigênio para achar e (e então c por c=e). Substituindo a=2 e b=6 e d=6 em
8a + 2b = 3d + e,
temos
8\cdot 2 + 2\cdot 6 = 3\cdot 6 + e.
Calcule os termos:
16 + 12 = 18 + e
28 = 18 + e
e = 28 - 18 = 10.
Então e=10. Pela relação do carbono, c = e, logo
c = 10.

Passo 6

Temos, portanto, todos os coeficientes:
a=2,\quad b=6,\quad c=10,\quad d=6,\quad e=10,\quad f=1.
Isso significa que a equação balanceada (com coeficientes mínimos inteiros) é
2\,\mathrm{Ca}_{3}(\mathrm{PO}_{4})_{2} + 6\,\mathrm{SiO}_{2} + 10\,\mathrm{C} \longrightarrow 6\,\mathrm{CaSiO}_{3} + 10\,\mathrm{CO} + 1\,\mathrm{P}_{4}.

Passo 7

Verificação rápida (contagem de átomos por elemento para confirmar):
  • Ca: à esquerda 3\cdot 2 = 6; à direita 6\cdot 1 = 6. OK.
  • P: à esquerda 2\cdot 2 = 4; à direita 1\cdot 4 = 4. OK.
  • Si: à esquerda 6; à direita 6. OK.
  • C: à esquerda 10; à direita 10. OK.
  • O: à esquerda 8\cdot 2 + 2\cdot 6 = 16 + 12 = 28; à direita 3\cdot 6 + 10 = 18 + 10 = 28. OK.
Tudo confere — ótima!

Resposta

d) \,2,6,10,6,10 e \,1

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