O fósforo branco \left(\mathrm{P}_{4}\right) é uma substância muito empregada para finalidades bélicas, na confecção de bombas incendiárias e granadas luminosas. Ele é
obtido pelo aquecimento, em forno elétrico, de fosfato de cálcio, areia e coque. A equação química é:
a é o coeficiente de \mathrm{Ca}_{3}(\mathrm{PO}_{4})_{2}.
b é o coeficiente de \mathrm{SiO}_{2}.
c é o coeficiente de \mathrm{C}.
d é o coeficiente de \mathrm{CaSiO}_{3}.
e é o coeficiente de \mathrm{CO}.
f é o coeficiente de \mathrm{P}_{4}.
Explicação rápida do método: vamos escrever uma equação de conservação de átomos para cada elemento envolvido (Ca, P, Si, O, C). Cada equação relaciona os coeficientes e depois resolvemos o sistema procurando a menor solução inteira positiva.
Passo 3
Montando as equações de conservação atômica. Contagem de átomos por espécie:
Cálcio (\mathrm{Ca}):
À esquerda: cada \mathrm{Ca}_{3}(\mathrm{PO}_{4})_{2} tem 3 átomos de Ca, então 3a.
À direita: cada \mathrm{CaSiO}_{3} tem 1 Ca, então d.
Equação:
3a = d.
Fósforo (\mathrm{P}):
À esquerda: \mathrm{Ca}_{3}(\mathrm{PO}_{4})_{2} tem 2 grupos \mathrm{PO}_{4}, cada um com 1 P, logo 2a átomos de P.
À direita: \mathrm{P}_{4} tem 4 átomos de P por molécula, logo 4f.
Equação:
2a = 4f.
Silício (\mathrm{Si}):
À esquerda: b moléculas de \mathrm{SiO}_{2} têm b átomos de Si.
À direita: d unidades de \mathrm{CaSiO}_{3} têm d átomos de Si.
Equação:
b = d.
Carbono (\mathrm{C}):
À esquerda: c átomos (do carvão \mathrm{C}).
À direita: cada \mathrm{CO} tem 1 C, logo e.
Equação:
c = e.
Oxigênio (\mathrm{O}):
À esquerda: \mathrm{Ca}_{3}(\mathrm{PO}_{4})_{2} tem 2 grupos \mathrm{PO}_{4} com 4 O cada = 8a; \mathrm{SiO}_{2} tem 2 O cada = 2b. Total à esquerda: 8a+2b.
À direita: \mathrm{CaSiO}_{3} tem 3 O por unidade = 3d; \mathrm{CO} tem 1 O = e. Total à direita: 3d+e.
Equação:
8a + 2b = 3d + e.
Agora temos o sistema:
\begin{cases} 3a = d,\\[4pt] 2a = 4f,\\[4pt] b = d,\\[4pt] c = e,\\[4pt] 8a + 2b = 3d + e. \end{cases}]
Passo 4
Resolver o sistema por passos simples (preferindo relações diretas primeiro):
Da equação \;2a = 4f\; podemos simplificar dividindo por 2:
a = 2f.
Isto diz que a é o dobro de f. Para achar coeficientes inteiros mínimos, escolhemos a menor f positiva possível, que é f=1. Assim:
f = 1 \quad\Rightarrow\quad a = 2.
(Escolher f=1 é padrão: busca-se a solução inteira menor que satisfaça todas as relações.)
Agora use \;3a = d\;:
d = 3a = 3\cdot 2 = 6.
E de \;b = d\;:
b = 6.
Passo 5
Usar a equação do oxigênio para achar e (e então c por c=e). Substituindo a=2 e b=6 e d=6 em