Um fóton de 100 MeV choca com um elétron em repouso e é espalhado a 45^{0} em relação à direção de incidência. Calcule a energia de cada partícula depois da colisão e determine a direção de saída do elétron.

Passo 1

O enunciado trata de espalhamento Compton: um fóton de energia inicial E=100\\ \mathrm{MeV} incide sobre um elétron em repouso m_e c^2=0{,}511\\ \mathrm{MeV} e é desviado de sua direção original por um ângulo \theta=45^\circ. Para resolver precisamos de duas coisas:
  1. A fórmula relativística de espalhamento Compton em termos de energia:
E' \;=\; \frac{E}{1 + \frac{E}{m_e c^2}\,\bigl(1-\cos\theta\bigr)}
  1. A conservação de momento para achar o ângulo de saída \varphi do elétron, usando suas componentes de momento.

Passo 2

Aplicando
E' = \frac{100}{1 + \frac{100}{0{,}511}\,(1-\cos45^\circ)}
onde \cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707. Calculamos
1-\cos45^\circ \approx 0{,}293,\quad \frac{100}{0{,}511}\approx195{,}70,\quad \text{denom} = 1 + 195{,}70\times0{,}293\approx58{,}33,
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E' \approx \frac{100}{58{,}33}\approx1{,}72\\ \mathrm{MeV}.

Passo 3

A energia cinética do elétron é dada por
T_e = E - E' \approx 100 - 1{,}72 = 98{,}28\\ \mathrm{MeV}.
Assim a energia total do elétron é
E_e = T_e + m_e c^2 \approx 98{,}28 + 0{,}511 = 98{,}79\\ \mathrm{MeV}.

Passo 4

Para achar o ângulo \varphi do elétron em relação à direção original do fóton, usamos conservação de momento em x e y. O resultado é
\tan\varphi = \frac{E'\,\sin\theta}{\,E - E'\,\cos\theta\,}.
Substituindo \sin45^\circ\approx0{,}707, E'=1{,}72 e E=100, obtemos
\tan\varphi \approx \frac{1{,}72\times0{,}707}{100 - 1{,}72\times0{,}707} =\frac{1{,}216}{98{,}784}\approx0{,}0123 \quad\Longrightarrow\quad \varphi\approx0{,}71^\circ.

Resposta

Energia do fóton espalhado: E'\approx1{,}72\\ \mathrm{MeV}
Energia cinética do elétron: T_e\approx98{,}28\\ \mathrm{MeV} (energia total E_e\approx98{,}79\\ \mathrm{MeV})
Ângulo de saída do elétron: \varphi\approx0{,}71^\circ em relação à direção original do fóton.

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