Um fóton de 100 MeV colide com uma partícula em repouso.
a. Mostre que a máxima energia perdida pelo fóton na colisão é
\Delta E_{\text {máx }}=\frac{2 E_{0}^{2}}{m_{0} c^{2}+2 E_{0}},á
onde \mathrm{E}_{0} e E são respectivamente as energias iniciais e finais do fóton e \mathrm{m}_{0} é a massa de repouso da partícula.
b. O fóton perde mais energia numa “colisão” com um próton ou com um elétron?

Passo 1

O enunciado trata de um fóton de energia inicial \,E_{0}\, que colide com uma partícula de massa de repouso m_{0} inicialmente em repouso, e pede a máxima energia perdida \Delta E_{\max} pelo fóton. Para isso vamos usar conservação de quatro-impulsos e obter a fórmula de espalhamento de Compton, em que a energia final do fóton depende do ângulo de espalhamento \theta.

Passo 2

Conservando quatro-impulsos, escrevemos
P + k = P' + k'\,,
onde P=(m_{0}c,0) é o quatro-impulso da partícula em repouso, k=(E_{0}/c,\;\mathbf{p}_{0}) o do fóton incidente, k'=(E/c,\;\mathbf{p}) o do fóton espalhado e P' o da partícula recoil. Elevando ao quadrado ambos os lados e usando P^{2}=P'^{2}=m_{0}^{2}c^{2} e k^{2}=k'^{2}=0, obtemos
2\,P\cdot k -2\,P\cdot k' -2\,k\cdot k'=0 \;\Longrightarrow\; m_{0}(E_{0}-E)=\frac{E_{0}\,E}{c^{2}}\,(1-\cos\theta)\,.
Da relação acima isolamos a energia final E do fóton:
m_{0}(E_{0}-E) =\frac{E_{0}\,E}{c^{2}}\,(1-\cos\theta) \;\Longrightarrow\; \frac{1}{E}-\frac{1}{E_{0}} =\frac{1-\cos\theta}{m_{0}c^{2}} \;\Longrightarrow\; E =\frac{E_{0}}{1+\displaystyle\frac{E_{0}}{m_{0}c^{2}}\,(1-\cos\theta)}\,.

Passo 3

A energia perdida pelo fóton é \Delta E=E_{0}-E. Substituindo E obtemos
\Delta E =E_{0}\Bigl[1-\frac{1}{1+\frac{E_{0}}{m_{0}c^{2}}(1-\cos\theta)}\Bigr] =\frac{\displaystyle\frac{E_{0}^{2}}{m_{0}c^{2}}(1-\cos\theta)} {1+\displaystyle\frac{E_{0}}{m_{0}c^{2}}(1-\cos\theta)}\,.
Para maximizar \Delta E tomamos 1-\cos\theta máximo, ou seja \theta=\pi e 1-\cos\pi=2. Logo
\Delta E_{\max} =\frac{\displaystyle\frac{E_{0}^{2}}{m_{0}c^{2}}\cdot2} {1+\displaystyle\frac{E_{0}}{m_{0}c^{2}}\cdot2} =\frac{2\,E_{0}^{2}}{m_{0}c^{2}+2\,E_{0}}\,.

Passo 4

Para saber se o fóton perde mais energia num choque com próton ou com elétron, note que \Delta E_{\max} cresce quando m_{0}c^{2} é menor. Como m_{e}c^{2}\approx0{,}511 MeV e m_{p}c^{2}\approx938 MeV, a perda máxima é muito maior no caso do elétron do que no do próton.

Resposta

\displaystyle\Delta E_{\max}=\frac{2E_{0}^{2}}{m_{0}c^{2}+2E_{0}}
O fóton perde mais energia ao colidir com um elétron do que com um próton.

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