Um fóton de comprimento de onda 4,8811 \mathrm{~nm} é capaz de promover a transição eletrônica de menor energia a partir do estado fundamental em um sistema hidrogenóide. Determine qual é essa espécie.

Resposta

Se a transição é a partir do estado fundamental, então \mathrm{n}_{\mathrm{i}}=1. Se é a transição é a de menor energia, então \mathrm{n}_{\mathrm{f}}=2. A energia do fóton que promove a transição eletrônica é dada por:
\begin{gathered} E_{F \text { óton }}=E_{n=2}-E_{n=1}=\left(2,17 \cdot 10^{-18}\right) Z^{2}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right) \\\ \frac{h c}{\lambda}=\left(2,17 \cdot 10^{-18}\right) Z^{2}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right)=\left(2,17 \cdot 10^{-18}\right) Z^{2} \cdot 0,75 \\\ Z=\sqrt{\frac{h c}{\lambda \cdot\left(2,17 \cdot 10^{-18}\right) \cdot 0,75}}=\sqrt{\frac{6,62 \cdot 10^{-34} \mathrm{Js} \cdot 3 \cdot 10^{8} m s^{-1}}{4,8811 \cdot 10^{-9} m \cdot 2,17 \cdot 10^{-18} \mathrm{~J} \cdot 0,75}}=5 \end{gathered}ó
A espécie química que possui um único elétron e número atômico igual a 5 é o \mathrm{B}^{4+}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei o comprimento de onda do próprio enunciado).
  • Dado: comprimento de onda do fóton \lambda = 4,8811\\ \mathrm{nm}.
  • Dado implícito: trata-se de um sistema hidrogenóide (átomo com um único elétron) de número atômico desconhecido Z.
  • Condição: o fóton “é capaz de promover a transição eletrônica de menor energia a partir do estado fundamental”.
  • Pedido: determinar qual é a espécie (isto é, identificar o elemento/íon, equivalently encontrar Z e a carga do íon).

Passo 2

Entendendo a física que vou usar — níveis de energia no modelo de Bohr para átomos hidrogenóides.
  • Em um átomo hidrogenóide com carga nuclear +Ze e um único elétron, os níveis de energia (valores de energia permitidos) são dados por:
E_n = -\left(2,17\times10^{-18}\right) Z^{2}\frac{1}{n^{2}}\quad(\text{em joules}),
onde n=1,2,3,\dots é o número quântico principal.
  • Explicando a fórmula de forma simples: cada nível n tem energia proporcional a -Z^{2}/n^{2}. O fator 2,17\times10^{-18}\\ \mathrm{J} é a energia do nível n=1 para o átomo de hidrogênio ( Z=1).
  • O sinal negativo indica que o elétron está ligado (energia ligada), e diferenças de níveis dão energias positivas (fótons emitidos/absorvidos).
  • Um fóton com comprimento de onda \lambda tem energia dada por:
E_{\text{fóton}}=\frac{h c}{\lambda},ó
onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz.
  • Aqui h tem unidade de \mathrm{J\cdot s}, c tem unidade \mathrm{m\cdot s^{-1}}, \lambda em metros, então E_{\text{fóton}}ó sai em joules.

Passo 3

Interpretando “transição eletrônica de menor energia a partir do estado fundamental”.
  • Estado inicial é o estado fundamental, logo n_i=1.
  • A transição de menor energia a partir de n_i=1 significa a menor subida possível em energia partindo de n=1, ou seja para n_f=2.
    • Observação didática: a menor energia absorvida para tirar o elétron do nível n=1 é a energia que o leva ao primeiro nível excitado, n=2. Se fosse retirada mais energia, o elétron iria para níveis superiores ( n\ge 3) ou para o continuum (ionização), mas a menor absorção é \Delta E = E_2-E_1.

Passo 4

Escrever a equação que liga a energia do fóton à diferença de níveis.
  • A energia do fóton absorvido deve ser igual à diferença \Delta E = E_{n=2}-E_{n=1}. Usando a fórmula dos níveis:
\Delta E = -\left(2,17\times10^{-18}\right)Z^{2}\frac{1}{2^{2}} \;-\; \left[-\left(2,17\times10^{-18}\right)Z^{2}\frac{1}{1^{2}}\right]
\Delta E = \left(2,17\times10^{-18}\right)Z^{2}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right).
  • Simplificando o fator entre parênteses:
\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}} = 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=0,75.
  • Assim
\Delta E = \left(2,17\times10^{-18}\right)Z^{2}\cdot 0,75.
  • Igualando com a energia do fóton:
\frac{h c}{\lambda} = \left(2,17\times10^{-18}\right)Z^{2}\cdot 0,75.

Passo 5

Isolar Z algebricamente.
Z^{2}=\frac{h c}{\lambda\cdot\left(2,17\times10^{-18}\right)\cdot 0,75}, \qquad Z=\sqrt{\frac{h c}{\lambda\cdot\left(2,17\times10^{-18}\right)\cdot 0,75}}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • h = constante de Planck ( 6,62\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} usado com precisão suficiente para prova);
    • c = velocidade da luz ( 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}});
    • \lambda = comprimento de onda do fóton, em metros;
    • o fator 2,17\times10^{-18}\\ \mathrm{J} é a energia absoluta do nível n=1 para Z=1.

Passo 6

Substituir os números e calcular passo a passo (conversão de unidades incluída).
  • Converter \lambda para metros:
\lambda = 4,8811\\ \mathrm{nm} = 4,8811\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular h c:
h c = \left(6,62\times10^{-34}\right)\cdot\left(3,00\times10^{8}\right)=1,986\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
  • Calcular o denominador:
\lambda\cdot\left(2,17\times10^{-18}\right)\cdot 0,75 = \left(4,8811\times10^{-9}\right)\cdot\left(2,17\times10^{-18}\right)\cdot 0,75.
Primeiro \left(2,17\times10^{-18}\right)\cdot 0,75=1,6275\times10^{-18}.
Então
\text{denominador}=4,8811\times10^{-9}\cdot1,6275\times10^{-18}=7,94399025\times10^{-27}\\ \mathrm{J\cdot m}.
  • Dividindo numerador por denominador:
\frac{h c}{\text{denominador}}=\frac{1,986\times10^{-25}}{7,94399025\times10^{-27}} \approx 25.
  • Portanto
Z=\sqrt{25}=5.

Passo 7

Identificar a espécie química correspondente.
  • Z=5 significa elemento de número atômico 5, que é o boro ( \mathrm{B}).
  • O sistema é hidrogenóide: tem apenas um elétron. Para um átomo de boro neutro (Z=5) o número de elétrons neutro é 5; para restar apenas 1 elétron o íon deve ter carga +4 (pois 5 prótons menos 4 elétrons removidos deixa 1 elétron). Logo a espécie é \mathrm{B}^{4+}.

Resposta

\mathrm{B}^{4+}

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