Um fóton de comprimento de onda
é capaz de promover a transição eletrônica de menor energia a partir do estado fundamental em um sistema hidrogenóide. Determine qual é essa espécie.
Resposta
Se a transição é a partir do estado fundamental, então
. Se é a transição é a de menor energia, então
. A energia do fóton que promove a transição eletrônica é dada por:
A espécie química que possui um único elétron e número atômico igual a 5 é o
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei o comprimento de onda do próprio enunciado).
- Dado: comprimento de onda do fóton
. - Dado implícito: trata-se de um sistema hidrogenóide (átomo com um único elétron) de número atômico desconhecido
. - Condição: o fóton “é capaz de promover a transição eletrônica de menor energia a partir do estado fundamental”.
- Pedido: determinar qual é a espécie (isto é, identificar o elemento/íon, equivalently encontrar
e a carga do íon).
Passo 2
Entendendo a física que vou usar — níveis de energia no modelo de Bohr para átomos hidrogenóides.
- Em um átomo hidrogenóide com carga nuclear
e um único elétron, os níveis de energia (valores de energia permitidos) são dados por:
onde
é o número quântico principal.
- Explicando a fórmula de forma simples: cada nível
tem energia proporcional a . O fator é a energia do nível para o átomo de hidrogênio ( ). - O sinal negativo indica que o elétron está ligado (energia ligada), e diferenças de níveis dão energias positivas (fótons emitidos/absorvidos).
- Um fóton com comprimento de onda
tem energia dada por:
onde
é a constante de Planck e
é a velocidade da luz.
- Aqui
tem unidade de , tem unidade , em metros, então sai em joules.
Passo 3
Interpretando “transição eletrônica de menor energia a partir do estado fundamental”.
- Estado inicial é o estado fundamental, logo
. - A transição de menor energia a partir de
significa a menor subida possível em energia partindo de , ou seja para . - Observação didática: a menor energia absorvida para tirar o elétron do nível
é a energia que o leva ao primeiro nível excitado, . Se fosse retirada mais energia, o elétron iria para níveis superiores ( ) ou para o continuum (ionização), mas a menor absorção é .
- Observação didática: a menor energia absorvida para tirar o elétron do nível
Passo 4
Escrever a equação que liga a energia do fóton à diferença de níveis.
- A energia do fóton absorvido deve ser igual à diferença
. Usando a fórmula dos níveis:
- Simplificando o fator entre parênteses:
- Assim
- Igualando com a energia do fóton:
Passo 5
Isolar
algebricamente.
- Aqui cada símbolo significa:
-
= constante de Planck ( usado com precisão suficiente para prova); -
= velocidade da luz ( ); -
= comprimento de onda do fóton, em metros; - o fator
é a energia absoluta do nível para .
-
Passo 6
Substituir os números e calcular passo a passo (conversão de unidades incluída).
- Converter
para metros:
- Calcular
:
- Calcular o denominador:
Primeiro
.
Então
Então
- Dividindo numerador por denominador:
- Portanto
Passo 7
Identificar a espécie química correspondente.
-
significa elemento de número atômico 5, que é o boro ( ). - O sistema é hidrogenóide: tem apenas um elétron. Para um átomo de boro neutro (Z=5) o número de elétrons neutro é 5; para restar apenas 1 elétron o íon deve ter carga
(pois 5 prótons menos 4 elétrons removidos deixa 1 elétron). Logo a espécie é .