Uma das técnicas de datação de artefatos arqueológicos utiliza o processo de decaimento do { }^{14} \mathrm{C} ( t_{1 / 2}=5730 anos).
a) Escreva a equação que representa o decaimento do { }^{14} \mathrm{C}, especificando o núcleo formado e a partícula emitida.
b) Assumindo que toda a energia envolvida neste processo é convertida em energia cinética da partícula formada, calcule seu comprimento de De Broglie.
c) Sabendo que a atividade observada de restos de madeira numa fogueira localizada num sítio arqueológico foi de 2,25 desintegrações por minuto por grama de carbono, calcule a idade desta amostra de madeira. (Atividade inicial =15,3 desintegrações por minuto por grama de carbono).

Resposta

a) O carbono possui \mathrm{Z}=6, portanto, possui \mathrm{N}=\mathrm{A}-\mathrm{Z}=14-6=8. Como \mathrm{N}>\mathrm{Z}, então um neutron irá se transformar em um próton com a emissão de uma partícula \beta (elétron).

b) \Delta \mathrm{m}=\mathrm{m}\left({ }^{14}{ }_{7} \mathrm{~N}^{+}\right)+\mathrm{m}(\beta)-\mathrm{m}\left({ }^{14}{ }_{6} \mathrm{C}\right)=\mathrm{m}\left({ }^{14}{ }_{7} \mathrm{~N}\right)-\mathrm{m}_{\mathrm{e}}+\mathrm{m}_{\mathrm{e}}-\mathrm{m}\left({ }^{14}{ }_{6} \mathrm{C}\right)=\mathrm{m}\left({ }^{14}{ }_{7} \mathrm{~N}\right)-\mathrm{m}\left({ }^{14}{ }_{6} \mathrm{C}\right)
\begin{aligned} \Delta \mathrm{m} & =14,003074 \mathrm{u}-14,003242 \mathrm{u}=-1,68 \cdot 10^{-4} \mathrm{u} \\\ \Delta \mathrm{E} & =931,4 \cdot \Delta \mathrm{~m}(\mathrm{MeV})=-0,156 \mathrm{MeV} \\\ \mathrm{E}_{\mathrm{c}} & =\mathrm{p}^{2} / 2 \mathrm{~m} \rightarrow \mathrm{p}=\left(2 \mathrm{mE}_{\mathrm{c}}\right)^{1 / 2} \\\ \lambda & =\mathrm{h} / \mathrm{p}=\mathrm{h} /\left(2 \mathrm{mE}_{\mathrm{c}}\right)^{1 / 2}=6,62 \cdot 10^{-34} \mathrm{Js} /\left(2 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \mathrm{~kg} \cdot 0,156 \cdot 10^{6} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \mathrm{~J}\right)^{1 / 2}=3,1 \cdot 10^{-12} \mathrm{~m} \end{aligned}
c) \ln \left(\frac{A}{A_{0}}\right)=-k t
t=\frac{1}{k} \ln \left(\frac{A_{0}}{A}\right)=\frac{t_{1 / 2}}{\ln 2} \ln \left(\frac{A_{0}}{A}\right)=\frac{5730 \text { anos }}{\ln 2} \ln \left(\frac{15,3 \text { des. } \mathrm{min}^{-1} \mathrm{~g}^{-1}}{2,25 \text { des. } \mathrm{min}^{-1} \mathrm{~g}^{-1}}\right)=15846,5 \text { anos }

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) escrever a equação do decaimento do {}^{14}\mathrm{C}, especificando o núcleo formado e a partícula emitida;
  • (b) assumir que toda a energia liberada no decaimento é convertida em energia cinética da partícula formada e calcular o comprimento de De Broglie dessa partícula;
  • (c) calcular a idade de uma amostra de madeira a partir da atividade medida hoje e da atividade inicial conhecida.
Informações fornecidas no enunciado (usei estes números textualmente):
  • Meia-vida do {}^{14}\mathrm{C}: \,t_{1/2}=5730\\ \text{anos}.
  • Atividade inicial: A_0=15{,}3\\ \text{desintegrações min}^{-1}\\ \text{g}^{-1}çõ.
  • Atividade observada: A=2{,}25\\ \text{desintegrações min}^{-1}\\ \text{g}^{-1}çõ.
  • Massas atômicas (peguei estes valores do enunciado / dados fornecidos): m\bigl({}^{14}\mathrm{N}\bigr)=14{,}003074\\ \mathrm{u} e m\bigl({}^{14}\mathrm{C}\bigr)=14{,}003242\\ \mathrm{u}.
Constantes que usarei (valores numéricos mostrados quando usados):
  • Constante de Planck: h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • Massa do elétron: m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Energia de repouso do elétron: m_e c^2 \approx 0{,}510999\\ \mathrm{MeV} (ou 8{,}187\times10^{-14}\\ \mathrm{J}).
  • Fator de conversão: 1\\ \mathrm{u}=931{,}494\\ \mathrm{MeV}/c^2 (ou 1\\ \mathrm{u}\cdot c^2 =931{,}494\\ \mathrm{MeV}).
  • 1\\ \mathrm{MeV}=1{,}602176634\times10^{-13}\\ \mathrm{J}.
  • Velocidade da luz: c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

(a) Equação do decaimento: o {}^{14}\mathrm{C} sofre decaimento beta menos ( \beta^-), em que um nêutron se transforma em um próton, emitindo um elétron ( \beta^-) e um antineutrino eletrônico \bar{\nu}_e. O núcleo formado é o nitrogênio-14. Assim, a equação é
^{14}_{6}\mathrm{C}\to {}^{14}_{7}\mathrm{N}+\beta^-+\bar{\nu}_e.
Explicação rápida (para fixar): a notação ^{A}_{Z}\mathrm{X} tem A número de massa (prótons + nêutrons) e Z número atômico (prótons). No decaimento \beta^- um nêutron vira próton, então Z aumenta em 1 e A permanece.

Passo 3

(b) Energia liberada (valor Q) — cálculo do Q-valor do decaimento, que é a energia disponível para as partículas após a transformação.
Fórmula utilizada e justificativa:
  • Para decaimento \beta^- pode-se usar a diferença de massas atômicas entre pai e filha: \displaystyle Q=\bigl[m(^{14}\mathrm{C})-m(^{14}\mathrm{N})\bigr]c^2. Aqui as massas atômicas já incluem elétrons e, na diferença, as massas eletrônicas se cancelam corretamente (é a forma prática de obter Q quando se usam massas atômicas).
Cálculo numérico:
\Delta m = m(^{14}\mathrm{C})-m(^{14}\mathrm{N})=14{,}003242\\ \mathrm{u}-14{,}003074\\ \mathrm{u}=0{,}000168\\ \mathrm{u}.
Q = \Delta m\cdot 931{,}494\\ \frac{\mathrm{MeV}}{\mathrm{u}} = 0{,}000168\cdot 931{,}494\\ \mathrm{MeV}\approx 0{,}1565\\ \mathrm{MeV}.
Converto Q para joules:
E_{\text{c}} = Q = 0{,}1565\\ \mathrm{MeV}\times 1{,}602176634\times10^{-13}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{MeV}}\approx 2{,}51\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
Interpretação do enunciado: ele pede para assumir que “toda a energia envolvida neste processo é convertida em energia cinética da partícula formada”. Aqui interpretamos a “partícula formada” como o elétron emitido ( \beta^-); portanto usamos E_{\text{c}} como energia cinética do elétron.
Agora calculamos o comprimento de De Broglie do elétron. Como a energia cinética é comparável à energia de repouso do elétron, usaremos a fórmula relativística para o momento:
  • energia total do elétron: E_{\text{tot}} = m_e c^2 + E_{\text{c}} (em joules);
  • momento relativístico: p = \dfrac{1}{c}\sqrt{E_{\text{tot}}^2 - (m_e c^2)^2};
  • comprimento de De Broglie: \lambda=\dfrac{h}{p}.
Cálculos numéricos:
m_e c^2 \approx 0{,}510999\\ \mathrm{MeV}=0{,}510999\times1{,}602176634\times10^{-13}\\ \mathrm{J}\approx 8{,}187\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
E_{\text{tot}} = 8{,}187\times10^{-14}\\ \mathrm{J} + 2{,}51\times10^{-14}\\ \mathrm{J} \approx 1{,}0697\times10^{-13}\\ \mathrm{J}.
p=\frac{1}{c}\sqrt{E_{\text{tot}}^2-(m_e c^2)^2} =\frac{1}{2{,}99792458\times10^{8}}\sqrt{(1{,}0697\times10^{-13})^2-(8{,}187\times10^{-14})^2}.
Faço a raiz:
(1{,}0697\times10^{-13})^2-(8{,}187\times10^{-14})^2 \approx 4{,}702\times10^{-27}\\ \mathrm{J}^2,
\sqrt{\cdot}\approx 6{,}859\times10^{-14}\\ \mathrm{J},
p \approx \frac{6{,}859\times10^{-14}}{2{,}99792458\times10^{8}}\\ \mathrm{kg\,m/s}\approx 2{,}287\times10^{-22}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
Finalmente,
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{2{,}287\times10^{-22}}\\ \mathrm{m}\approx 2{,}90\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: se tivéssemos usado a aproximação não relativística p=\sqrt{2m_e E_{\text{c}}} o resultado ficaria próximo (cerca de 3{,}1\times10^{-12}\\ \mathrm{m}), mas a fórmula relativística é mais correta aqui porque a velocidade do elétron não é desprezível frente a c.

Passo 4

(c) Idade da amostra a partir das atividades. Lei do decaimento radioativo:
A(t)=A_0 e^{-k t},\qquad k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Despejando para t:
t=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{A_0}{A}\right)=\frac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\!\left(\frac{A_0}{A}\right).
Substituindo números:
\frac{A_0}{A}=\frac{15{,}3}{2{,}25}=6{,}8, \qquad \ln(6{,}8)\approx 1{,}9169226.
\frac{t_{1/2}}{\ln 2}=\frac{5730}{0{,}69314718}\approx 8267{,}28\\ \text{anos}.
t\approx 8267{,}28\times 1{,}9169226\approx 1{,}5856\times10^{4}\\ \text{anos}\approx 15860\\ \text{anos}.
Arredondando com 3 algarismos significativos, t\approx 1{,}59\times10^{4}\\ \text{anos} (ou aproximadamente 15860 anos).

Resposta

(a) ^{14}_{6}\mathrm{C}\to {}^{14}_{7}\mathrm{N}+\beta^-+\bar{\nu}_e
(b) \lambda\approx 2{,}90\times10^{-12}\\ \mathrm{m}\n
(c) t\approx 1{,}59\times10^{4}\\ \text{anos} (aprox. 15860 anos)

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