Uma das técnicas de datação de artefatos arqueológicos utiliza o processo de decaimento do { }^{14} \mathrm{C} ( t_{1 / 2}=5730 anos).
a) Escreva a equação que representa o decaimento do { }^{14} \mathrm{C}, especificando o núcleo formado e a partícula emitida.
b) Assumindo que toda a energia envolvida neste processo é convertida em energia cinética da partícula formada, calcule seu comprimento de De Broglie.
c) Sabendo que a atividade observada de restos de madeira numa fogueira localizada num sítio arqueológico foi de 2,25 desintegrações por minuto por grama de carbono, calcule a idade desta amostra de madeira. (Atividade inicial =15,3 desintegrações por minuto por grama de carbono).
Resposta
a) O carbono possui \mathrm{Z}=6, portanto, possui \mathrm{N}=\mathrm{A}-\mathrm{Z}=14-6=8. Como \mathrm{N}>\mathrm{Z}, então um neutron irá se transformar em um próton com a emissão de uma partícula \beta (elétron).
b) \Delta \mathrm{m}=\mathrm{m}\left({ }^{14}{ }_{7} \mathrm{~N}^{+}\right)+\mathrm{m}(\beta)-\mathrm{m}\left({ }^{14}{ }_{6} \mathrm{C}\right)=\mathrm{m}\left({ }^{14}{ }_{7} \mathrm{~N}\right)-\mathrm{m}_{\mathrm{e}}+\mathrm{m}_{\mathrm{e}}-\mathrm{m}\left({ }^{14}{ }_{6} \mathrm{C}\right)=\mathrm{m}\left({ }^{14}{ }_{7} \mathrm{~N}\right)-\mathrm{m}\left({ }^{14}{ }_{6} \mathrm{C}\right)
(a) escrever a equação do decaimento do {}^{14}\mathrm{C}, especificando o núcleo formado e a partícula emitida;
(b) assumir que toda a energia liberada no decaimento é convertida em energia cinética da partícula formada e calcular o comprimento de De Broglie dessa partícula;
(c) calcular a idade de uma amostra de madeira a partir da atividade medida hoje e da atividade inicial conhecida.
Informações fornecidas no enunciado (usei estes números textualmente):
Meia-vida do {}^{14}\mathrm{C}: \,t_{1/2}=5730\\ \text{anos}.
Massas atômicas (peguei estes valores do enunciado / dados fornecidos): m\bigl({}^{14}\mathrm{N}\bigr)=14{,}003074\\ \mathrm{u} e m\bigl({}^{14}\mathrm{C}\bigr)=14{,}003242\\ \mathrm{u}.
Constantes que usarei (valores numéricos mostrados quando usados):
Constante de Planck: h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
Massa do elétron: m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Energia de repouso do elétron: m_e c^2 \approx 0{,}510999\\ \mathrm{MeV} (ou 8{,}187\times10^{-14}\\ \mathrm{J}).
Velocidade da luz: c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Passo 2
(a) Equação do decaimento: o {}^{14}\mathrm{C} sofre decaimento beta menos (\beta^-), em que um nêutron se transforma em um próton, emitindo um elétron (\beta^-) e um antineutrino eletrônico \bar{\nu}_e. O núcleo formado é o nitrogênio-14. Assim, a equação é
Explicação rápida (para fixar): a notação ^{A}_{Z}\mathrm{X} tem A número de massa (prótons + nêutrons) e Z número atômico (prótons). No decaimento \beta^- um nêutron vira próton, então Z aumenta em 1 e A permanece.
Passo 3
(b) Energia liberada (valor Q) — cálculo do Q-valor do decaimento, que é a energia disponível para as partículas após a transformação.
Fórmula utilizada e justificativa:
Para decaimento \beta^- pode-se usar a diferença de massas atômicas entre pai e filha: \displaystyle Q=\bigl[m(^{14}\mathrm{C})-m(^{14}\mathrm{N})\bigr]c^2. Aqui as massas atômicas já incluem elétrons e, na diferença, as massas eletrônicas se cancelam corretamente (é a forma prática de obter Q quando se usam massas atômicas).
Cálculo numérico:
\Delta m = m(^{14}\mathrm{C})-m(^{14}\mathrm{N})=14{,}003242\\ \mathrm{u}-14{,}003074\\ \mathrm{u}=0{,}000168\\ \mathrm{u}.
Interpretação do enunciado: ele pede para assumir que “toda a energia envolvida neste processo é convertida em energia cinética da partícula formada”. Aqui interpretamos a “partícula formada” como o elétron emitido (\beta^-); portanto usamos E_{\text{c}} como energia cinética do elétron.
Agora calculamos o comprimento de De Broglie do elétron. Como a energia cinética é comparável à energia de repouso do elétron, usaremos a fórmula relativística para o momento:
energia total do elétron: E_{\text{tot}} = m_e c^2 + E_{\text{c}} (em joules);
momento relativístico: p = \dfrac{1}{c}\sqrt{E_{\text{tot}}^2 - (m_e c^2)^2};
Comentário prático: se tivéssemos usado a aproximação não relativística p=\sqrt{2m_e E_{\text{c}}} o resultado ficaria próximo (cerca de 3{,}1\times10^{-12}\\ \mathrm{m}), mas a fórmula relativística é mais correta aqui porque a velocidade do elétron não é desprezível frente a c.
Passo 4
(c) Idade da amostra a partir das atividades. Lei do decaimento radioativo: