Um fóton de comprimento de onda igual a 1,06 \mu \mathrm{~m} é combinado com um fóton de comprimento de onda igual a 0,85 \mu \mathrm{~m} para criar um fóton cuja energia é a soma das energias destes dois fótons. Determine a energia e o momento do fóton resultante.

Passo 1

O enunciado nos dá dois fótons com comprimentos de onda \lambda_{1}=1,06\,\mu\mathrm{m} e \lambda_{2}=0,85\,\mu\mathrm{m}, e informa que eles se combinam para formar um fóton cuja energia é a soma das energias dos dois iniciais. O conteúdo é fotônica quântica, usando as fórmulas \displaystyle E=\frac{h\,c}{\lambda} para a energia de um fóton e \displaystyle p=\frac{E}{c} para seu momento.

Passo 2

Escrevemos a energia total do fóton resultante como
E_{\rm tot} =E_{1}+E_{2} =\frac{h\,c}{\lambda_{1}}+\frac{h\,c}{\lambda_{2}} = h\,c\Bigl(\frac{1}{\lambda_{1}}+\frac{1}{\lambda_{2}}\Bigr).
Substituindo h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}, c=2{,}998\times10^{8}\,\mathrm{m/s}, \lambda_{1}=1{,}06\times10^{-6}\,\mathrm{m} e \lambda_{2}=0{,}85\times10^{-6}\,\mathrm{m}, temos
E_{\rm tot} =6{,}626\times10^{-34}\times2{,}998\times10^{8} \Bigl(\frac{1}{1{,}06\times10^{-6}}+\frac{1}{0{,}85\times10^{-6}}\Bigr) \approx4{,}21\times10^{-19}\,\mathrm{J}.

Passo 3

O momento do fóton resultante é
p=\frac{E_{\rm tot}}{c} =\frac{4{,}21\times10^{-19}\,\mathrm{J}}{2{,}998\times10^{8}\,\mathrm{m/s}} \approx1{,}40\times10^{-27}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

Resposta

Energia do fóton resultante: \displaystyle4,21\times10^{-19}\,\mathrm{J}.
Momento do fóton resultante: \displaystyle1,40\times10^{-27}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

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