Seja \mathcal{P} uma matriz de rotação de 180^{\circ} em torno de um eixo arbitrário. Determine \mathcal{P}^{2} sem cálculos, refletindo sobre o seu significado. (ii) Sendo \mathcal{A}=(\boldsymbol{I}+\mathcal{P}) / 2 e \mathcal{B}=(\boldsymbol{I}-\mathcal{P}) / 2, prove que \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A} e \mathcal{B}^{2}=\mathcal{B}. (iii) Mostre que as matrizes \mathcal{A} e \mathcal{B} são singulares e calcule o seu produto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Dado: \mathcal{P} é a matriz (3×3) da rotação de 180^\circ em torno de um eixo arbitrário no espaço tridimensional.
  • Perguntas:
    (i) Determinar \mathcal{P}^{2} sem fazer contas pesadas, apenas refletindo sobre o significado da rotação.
    (ii) Para \mathcal{A}=(\boldsymbol{I}+\mathcal{P})/2 e \mathcal{B}=(\boldsymbol{I}-\mathcal{P})/2, provar que \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A} e \mathcal{B}^{2}=\mathcal{B}.
    (iii) Mostrar que \mathcal{A} e \mathcal{B} são singulares e calcular o produto \mathcal{A}\mathcal{B}.
Essas são todas as informações e o que o problema pede. Agora vamos resolver passo a passo, aprendendo a teoria necessária ao longo do caminho.

Passo 2

Intuição geométrica para (i): pense no efeito da rotação de 180^\circ em torno de um eixo. Seja esse eixo uma reta gerada por um vetor não nulo \boldsymbol{u}. Qual o efeito da rotação sobre dois tipos de vetores?
  • Qualquer vetor que esteja exatamente ao longo do eixo (paralelo a \boldsymbol{u}) permanece inalterado pela rotação (gira sobre si mesmo).
  • Qualquer vetor perpendicular ao eixo é girado por 180^\circ, o que equivale a trocar o sinal desse vetor (rodar 180° no plano perpendicular = virar o vetor).
Se aplicarmos a rotação duas vezes: vetores ao longo do eixo continuam iguais; vetores perpendiculares, que foram trocados de sinal na primeira rotação, voltam ao sinal original na segunda. Conclusão imediata e sem “contas”: aplicar \mathcal{P} duas vezes é a mesma coisa que não aplicar nada — ou seja, \mathcal{P}^{2}=\boldsymbol{I}.

Passo 3

Formalizando a ideia com decomposição de vetores: escolha um vetor unitário \boldsymbol{u} que direcione o eixo (ou seja, \|\boldsymbol{u}\|=1). Qualquer vetor \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como soma da componente paralela e da componente perpendicular:
\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{x})\,\boldsymbol{u} \;+\; \bigl(\boldsymbol{x} - (\boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{x})\,\boldsymbol{u}\bigr).
A rotação \mathcal{P} atua assim:
\mathcal{P}\bigl((\boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{x})\boldsymbol{u}\bigr) = (\boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{x})\boldsymbol{u}, \qquad \mathcal{P}\bigl(\boldsymbol{x} - (\boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{x})\boldsymbol{u}\bigr) = -\bigl(\boldsymbol{x} - (\boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{x})\boldsymbol{u}\bigr).
Logo
\mathcal{P}\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{x})\boldsymbol{u} - \bigl(\boldsymbol{x} - (\boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{x})\boldsymbol{u}\bigr).
Aplicando \mathcal{P} novamente volta-se \boldsymbol{x}. Portanto, de novo:
\mathcal{P}^{2}=\boldsymbol{I}.

Passo 4

Agora obtenha uma expressão matricial útil para \mathcal{P}. Observe que o operador que projeta \boldsymbol{x} sobre \boldsymbol{u} é dado pela matriz \boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T} (pois \boldsymbol{u} está normalizado). Usando a decomposição acima, a ação de \mathcal{P} em qualquer \boldsymbol{x} fica
\mathcal{P}\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T})\boldsymbol{x} - \bigl(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}\bigr)\boldsymbol{x} = \bigl(2\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}-\boldsymbol{I}\bigr)\boldsymbol{x}.
Como isto vale para todo \boldsymbol{x}, obtemos a fórmula matricial (muito prática):
\mathcal{P}=2\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}-\boldsymbol{I}.
Nota didática: \boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T} é a matriz de projeção ortogonal sobre a reta gerada por \boldsymbol{u}; ela é simétrica e idempotente:
(\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T})^{2} = \boldsymbol{u}(\boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{u})\boldsymbol{u}^{T} = \boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T},
pois \boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{u}=1.

Passo 5

Com \mathcal{P}=2\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}-\boldsymbol{I} podemos agora calcular \mathcal{A} e \mathcal{B} explicitamente:
\mathcal{A}=\frac{\boldsymbol{I}+\mathcal{P}}{2}=\frac{\boldsymbol{I}+(2\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}-\boldsymbol{I})}{2}=\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T},
\mathcal{B}=\frac{\boldsymbol{I}-\mathcal{P}}{2}=\frac{\boldsymbol{I}-(2\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}-\boldsymbol{I})}{2}=\boldsymbol{I}-\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}.
Interpretação: \mathcal{A} é a projeção ortogonal sobre a reta do eixo; \mathcal{B} é a projeção ortogonal sobre o plano perpendicular ao eixo.

Passo 6

Provar as propriedades idempotentes (ii). Usando as fórmulas achadas e a idempotência de \boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}:
\mathcal{A}^{2} = (\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T})^{2} = \boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T} = \mathcal{A}.
\mathcal{B}^{2} = (\boldsymbol{I}-\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T})^{2} = \boldsymbol{I}-2\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}+(\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T})^{2} = \boldsymbol{I}-2\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}+\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T} = \boldsymbol{I}-\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T} = \mathcal{B}.
Aqui usei explicitamente (\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T})^{2}=\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}. Assim \mathcal{A} e \mathcal{B} são idempotentes (projeções).

Passo 7

Mostrar que \mathcal{A} e \mathcal{B} são singulares (parte de (iii)). Raciocínio em termos de núcleos:
  • Para \mathcal{A}=\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}: se \boldsymbol{v} é qualquer vetor perpendicular a \boldsymbol{u} (ou seja, \boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{v}=0), então \mathcal{A}\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}(\boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{v})=\boldsymbol{0}. Assim \mathcal{A} tem núcleo não trivial (pelo menos dimensão 2), logo não é invertível — é singular.
  • Para \mathcal{B}=\boldsymbol{I}-\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}: note que \mathcal{B}\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0}. Assim \boldsymbol{u} está no núcleo de \mathcal{B}, núcleo não trivial (dimensão pelo menos 1), logo \mathcal{B} também é singular.

Passo 8

Calcular o produto \mathcal{A}\mathcal{B} (final de (iii)). Usando as expressões:
\mathcal{A}\mathcal{B} = (\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T})(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}) = \boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T} - (\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T})^{2}.
Como (\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T})^{2}=\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T}, segue
\mathcal{A}\mathcal{B} = \boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T} - \boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{T} = \boldsymbol{0}.
Ou seja, o produto é a matriz zero. (Simetricamente, também \mathcal{B}\mathcal{A}=\boldsymbol{0}.)

Resposta

(i) \mathcal{P}^{2}=\boldsymbol{I}
(ii) \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A} e \mathcal{B}^{2}=\mathcal{B}
(iii) \mathcal{A} e \mathcal{B} são singulares; \mathcal{A}\mathcal{B}=\boldsymbol{0}

Exercícios relacionados