Seja
uma matriz de rotação de
em torno de um eixo arbitrário. Determine
sem cálculos, refletindo sobre o seu significado. (ii) Sendo
e
, prove que
e
. (iii) Mostre que as matrizes
e
são singulares e calcule o seu produto.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Dado:
é a matriz (3×3) da rotação de em torno de um eixo arbitrário no espaço tridimensional. - Perguntas:
(i) Determinarsem fazer contas pesadas, apenas refletindo sobre o significado da rotação.
(ii) Parae , provar que e .
(iii) Mostrar quee são singulares e calcular o produto .
Essas são todas as informações e o que o problema pede. Agora vamos resolver passo a passo, aprendendo a teoria necessária ao longo do caminho.
Passo 2
Intuição geométrica para (i): pense no efeito da rotação de
em torno de um eixo. Seja esse eixo uma reta gerada por um vetor não nulo
. Qual o efeito da rotação sobre dois tipos de vetores?
- Qualquer vetor que esteja exatamente ao longo do eixo (paralelo a
) permanece inalterado pela rotação (gira sobre si mesmo). - Qualquer vetor perpendicular ao eixo é girado por
, o que equivale a trocar o sinal desse vetor (rodar 180° no plano perpendicular = virar o vetor).
Se aplicarmos a rotação duas vezes: vetores ao longo do eixo continuam iguais; vetores perpendiculares, que foram trocados de sinal na primeira rotação, voltam ao sinal original na segunda. Conclusão imediata e sem “contas”: aplicar
duas vezes é a mesma coisa que não aplicar nada — ou seja,
.
Passo 3
Formalizando a ideia com decomposição de vetores: escolha um vetor unitário
que direcione o eixo (ou seja,
). Qualquer vetor
pode ser escrito como soma da componente paralela e da componente perpendicular:
A rotação
atua assim:
Logo
Aplicando
novamente volta-se
. Portanto, de novo:
Passo 4
Agora obtenha uma expressão matricial útil para
. Observe que o operador que projeta
sobre
é dado pela matriz
(pois
está normalizado). Usando a decomposição acima, a ação de
em qualquer
fica
Como isto vale para todo
, obtemos a fórmula matricial (muito prática):
Nota didática:
é a matriz de projeção ortogonal sobre a reta gerada por
; ela é simétrica e idempotente:
pois
.
Passo 5
Com
podemos agora calcular
e
explicitamente:
Interpretação:
é a projeção ortogonal sobre a reta do eixo;
é a projeção ortogonal sobre o plano perpendicular ao eixo.
Passo 6
Provar as propriedades idempotentes (ii). Usando as fórmulas achadas e a idempotência de
:
Aqui usei explicitamente
. Assim
e
são idempotentes (projeções).
Passo 7
Mostrar que
e
são singulares (parte de (iii)). Raciocínio em termos de núcleos:
- Para
: se é qualquer vetor perpendicular a (ou seja, ), então . Assim tem núcleo não trivial (pelo menos dimensão 2), logo não é invertível — é singular. - Para
: note que . Assim está no núcleo de , núcleo não trivial (dimensão pelo menos 1), logo também é singular.
Passo 8
Calcular o produto
(final de (iii)). Usando as expressões:
Como
, segue
Ou seja, o produto é a matriz zero. (Simetricamente, também
.)
Resposta
(i)
(ii) e
(iii) e
são singulares;
(ii)
(iii)