1. (2,5 pt) Um fóton gama de 1,332 \mathrm{MeV} do { }^{60} \mathrm{Co} é espalhado inelasticamente sob um ângulo de 140^{\circ}. Calcule:
    a) A energia do fóton espalhado \mathrm{e} \Delta \lambda.
    b) O momento do fóton espalhado.

Passo 1

Resumo do enunciado: um fóton de energia inicial E=1{,}332,MeV incide num elétron em repouso e é espalhado pelo ângulo \theta=140^\circ. O conteúdo é espalhamento de Compton, em que usamos a fórmula do deslocamento de comprimento de onda e a relação onda-partícula do fóton para obter energia e momento do fóton espalhado.

Passo 2

Calcular o comprimento de onda inicial \lambda do fóton a partir de
\lambda = \frac{hc}{E}\,,
sendo h=6{,}626\times10^{-34},J s, c=2{,}998\times10^8,m/s e E=1{,}332,MeV \times1,602\times10^{-13},J/MeV.
  1. Converter E para joule:
E = 1{,}332\times1{,}602\times10^{-13} = 2{,}134\times10^{-13}\text{ J}.
  1. Calcular
\lambda = \frac{6{,}626\times10^{-34}\times2{,}998\times10^8}{2{,}134\times10^{-13}} \approx9{,}32\times10^{-13}\text{ m}.

Passo 3

Usar a fórmula de Compton para o deslocamento de comprimento de onda:
\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}\,\bigl(1-\cos\theta\bigr),
onde \frac{h}{m_e c}=\lambda_C=2{,}426\times10^{-12},m e \cos140^\circ=-0{,}7660. Logo,
\Delta\lambda = 2{,}426\times10^{-12}\,\bigl(1 - (-0{,}7660)\bigr) =2{,}426\times10^{-12}\times1{,}766 \approx4{,}29\times10^{-12}\text{ m}.

Passo 4

O novo comprimento de onda é
\lambda' = \lambda + \Delta\lambda =9{,}32\times10^{-13} + 4{,}29\times10^{-12} \approx5{,}22\times10^{-12}\text{ m}.
A energia do fóton espalhado é
E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{6{,}626\times10^{-34}\times2{,}998\times10^8}{5{,}22\times10^{-12}} \approx3{,}81\times10^{-14}\text{ J} \approx0{,}238\text{ MeV}.

Passo 5

O momento do fóton espalhado segue de p=E'/c. Em SI:
p = \frac{3{,}81\times10^{-14}}{2{,}998\times10^8} \approx1{,}27\times10^{-22}\text{ kg\cdotm/s}.
Em unidades de energia sobre c, fica p\approx0{,}238,MeV/ c.

Resposta

a) Energia do fóton espalhado E'\approx0{,}238,MeV e deslocamento de comprimento de onda \Delta\lambda\approx4{,}29\times10^{-12},m.
b) Momento do fóton espalhado p\approx1{,}27\times10^{-22},k g\cdot m/s (ou 0{,}238,MeV/ c).

Exercícios relacionados