( 2,5 \mathrm{pt} ) Um feixe estreito de fótons com 400 keV incide perpendicularmente numa chapa de ferro com 2 mm de espessura. (a) Qual a fração de fótons que interagem com a chapa? (b) Qual a espessura de Fe necessária para reduzir a fração de fótons que são transmitidos sem interagir para 10 \% ? Dados: \rho_{\mathrm{Fe}}=7,874 \mathrm{~g}^{2} / \mathrm{cm}^{3} \mathrm{e} (\mu / \rho)_{\mathrm{Fe}}=9,4 \times 10^{-2} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{g}.

Passo 1

O enunciado diz que um feixe estreito de fótons de 400\\ \mathrm{keV} atravessa uma chapa de ferro de espessura 2\\ \mathrm{mm}.
(a) Pede a fração de fótons que interagem (isto é, não são transmitidos).
(b) Pede a espessura de ferro necessária para que apenas 10\% dos fótons sejam transmitidos sem interação.
O conteúdo principal é atenuação exponencial de fótons, usando o coeficiente de atenuação linear \mu, que se obtém multiplicando o coeficiente de atenuação em massa \mu/\rho pela densidade \rho.

Passo 2

Calculamos o coeficiente de atenuação linear \mu.
Temos \rho_{\mathrm{Fe}} = 7{,}874\\ \mathrm{g/cm^{3}} e
\frac{\mu}{\rho} = 9{,}4\times10^{-2}\\ \mathrm{cm^{2}/g}.
Logo,
\mu = \frac{\mu}{\rho}\,\rho_{\mathrm{Fe}} = (9{,}4\times10^{-2})\times(7{,}874) \approx 0{,}740\\ \mathrm{cm^{-1}}.

Passo 3

Transformamos a espessura de 2\\ \mathrm{mm} para centímetros:
x = 2\\ \mathrm{mm} = 0{,}2\\ \mathrm{cm}.
A fração transmitida T obedece à lei exponencial:
T = \exp(-\mu x) = \exp\bigl(-0{,}740\times0{,}2\bigr) = \exp(-0{,}148) \approx 0{,}862.

Passo 4

A fração de fótons que interage (ou seja, não é transmitida) é
1 - T = 1 - 0{,}862 = 0{,}138\quad(\text{ou }13{,}8\%).

Passo 5

Para que apenas 10\% sejam transmitidos, queremos
\exp(-\mu x) = 0{,}10 \quad\Longrightarrow\quad \mu x = \ln(10)\approx2{,}3026 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\ln(10)}{\mu} = \frac{2{,}3026}{0{,}740} \approx3{,}11\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) A fração de fótons que interage é aproximadamente 13{,}8\%.
(b) A espessura de ferro necessária é cerca de 3{,}11\\ \mathrm{cm}.

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