Questão 1 (4.0)
Considere uma distribuição de carga esfericamante simétrica \rho\left(r^{\prime}\right)=\rho_{0}\left(1-\frac{a^{2}}{r^{\prime 2}}\right) dentro de uma bola de raio R e \rho\left(r^{\prime}\right)=0 para r^{\prime}>R. Aqui \rho_{0} e a são constantes.
Calcule campo elétrico esta distribuição da carga quando o raio da bola que contem a carga tem valor escolhido \operatorname{como} R=\sqrt{3 a}). (Utilize Lei de Gauss para determinar o campo).
Calcule carga elétrica Q_{e n c}(r) contida numa região encerrada pela esfera de raio r e origem em centro de distribuição de carga. Considere regiões r<R e r>R.

Passo 1

O enunciado trata de uma distribuição de carga esfericamente simétrica \rho(r') = \rho_{0}\Bigl(1 - \frac{a^{2}}{r'^{2}}\Bigr) para r'<R e zero para r'>R, com R=\sqrt{3a}.
Vamos usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico \mathbf{E}(r) e, antes disso, calcular a carga contida numa esfera de raio r, Q_{\mathrm{enc}}(r), distinguindo os casos r<R e r>R.

Passo 2

Para r<R,
Q_{\mathrm{enc}}(r) \;=\;\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' \;=\;4\pi\rho_{0}\int_{0}^{r}\Bigl(1 - \frac{a^{2}}{r'^{2}}\Bigr)r'^{2}\,dr'
separando o integral,
\int_{0}^{r}r'^{2}\,dr' = \frac{r^{3}}{3}, \quad \int_{0}^{r}dr' = r,
logo
Q_{\mathrm{enc}}(r) = 4\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{r^{3}}{3} \;-\;a^{2}r\Bigr), \quad r<R.

Passo 3

Para r = R obtemos a carga total
Q_{\mathrm{total}} = Q_{\mathrm{enc}}(R) =4\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{R^{3}}{3} - a^{2}R\Bigr).
Substituindo R=\sqrt{3a}:
\frac{R^{3}}{3}=\frac{(3a)^{3/2}}{3}=a^{3/2}\sqrt{3}, \quad a^{2}R=a^{2}\sqrt{3a}=a^{5/2}\sqrt{3},
resultando
Q_{\mathrm{total}} =4\pi\rho_{0}\sqrt{3}\,\bigl(a^{3/2}-a^{5/2}\bigr).

Passo 4

Para r>R, toda a carga está dentro da esfera de raio r, então
Q_{\mathrm{enc}}(r)=Q_{\mathrm{total}} =4\pi\rho_{0}\sqrt{3}\,\bigl(a^{3/2}-a^{5/2}\bigr).

Passo 5

Pela Lei de Gauss,
\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q_{\mathrm{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}}.
Para r<R:
E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{4\pi\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{r^{3}}{3}-a^{2}r\Bigr) \;\Longrightarrow\; E(r) =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{r}{3}-\frac{a^{2}}{r}\Bigr).

Passo 6

Para r>R:
E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q_{\mathrm{total}}}{\varepsilon_{0}} =\frac{4\pi\rho_{0}\sqrt{3}\,(a^{3/2}-a^{5/2})}{\varepsilon_{0}} \;\Longrightarrow\; E(r) =\frac{\rho_{0}\sqrt{3}\,(a^{3/2}-a^{5/2})}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}.

Resposta

Para r<R:
Q_{\mathrm{enc}}(r) =4\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{r^{3}}{3}-a^{2}r\Bigr), \qquad E(r) =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{r}{3}-\frac{a^{2}}{r}\Bigr)\,\hat{\mathbf{r}}.
Para r>R:
Q_{\mathrm{enc}}(r) =4\pi\rho_{0}\sqrt{3}\,\bigl(a^{3/2}-a^{5/2}\bigr), \qquad E(r) =\frac{\rho_{0}\sqrt{3}\,(a^{3/2}-a^{5/2})}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}.

Exercícios relacionados