lons de sódio, com carga de módulo igual a um (em unidades de e), sào acelerados através de uma diferença de potencial de 325 V . (a) Qual é o momento linear que os íons adquirem? (b) Calcule o seu comprimento de onda de De Broglie.

Passo 1

O enunciado diz que íons de sódio com carga de módulo igual a uma carga elementar são acelerados por uma diferença de potencial de 325 V. A tarefa é (a) encontrar o momento linear p que esses íons adquirem e (b) calcular o comprimento de onda de De Broglie \lambda.
Conteúdo envolvido:
  • Conversão de energia potencial elétrica em energia cinética: \Delta E = q\,\Delta V.
  • Relação entre energia cinética e momento linear: E_{\rm c} = \frac{p^2}{2m}.
  • Relação de De Broglie: \lambda = \frac{h}{p}.
    Vamos precisar de constantes: carga elementar e\approx1,602\times10^{-19}\,\mathrm{C}, constante de Planck h\approx6,626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s} e massa do íon de sódio (aproximadamente m = 23\,\mathrm{u} \approx 23\times1,6605\times10^{-27}\,\mathrm{kg}).

Passo 2

Primeiro calculamos a energia cinética adquirida pelo íon ao passar pela diferença de potencial de 325 V. Como q=+e,
E_{\rm c} = q\,\Delta V = e \times 325 = (1,602\times10^{-19}\,\mathrm{C})\times(325\,\mathrm{V}) =5,207\times10^{-17}\,\mathrm{J}.

Passo 3

Em seguida usamos a relação entre energia cinética e momento linear,
E_{\rm c} = \frac{p^2}{2m},
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p = \sqrt{2m\,E_{\rm c}}.
Tomando m = 23\times1,6605\times10^{-27}\,\mathrm{kg}\approx3,82\times10^{-26}\,\mathrm{kg},
p = \sqrt{2\,(3,82\times10^{-26})\,(5,207\times10^{-17})} \approx1,99\times10^{-21}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Finalmente, o comprimento de onda de De Broglie vem de
\lambda = \frac{h}{p}
com h=6,626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s} e p\approx1,99\times10^{-21}\,\mathrm{kg\cdot m/s}, resultando em
\lambda \approx \frac{6,626\times10^{-34}}{1,99\times10^{-21}} \approx3,33\times10^{-13}\,\mathrm{m}.

Resposta

(a) p\approx2,0\times10^{-21}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
(b) \lambda\approx3,3\times10^{-13}\,\mathrm{m}.

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