Um fóton com momento pf interagve com um elétron livre cujo momento paralelo ao momento do fóton é p1. Nesse experimento, supomos que o fóton é completamente absorvido pelo elétron que passa a ter um momento paralelo ao seu momento inicial p2. Sabendo que a energia relativística de uma partícula pode ser escrita como E^2=p^2 c^2+m0 ^2 c^4, onde m0 é a massa de repouso da partícula. A partir das leis de conservação do momento e energia, mostre que ( p2-p1 ) é uma solução impossível e que uma segunda solução leva a conclusão de que a massa de repouso do elétron deveria ser zero, o que também é impossível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fóton com momento $ p_f $ que interage com um elétron livre que tem um momento paralelo ao do fóton, chamado $ p_1 $. O fóton é completamente absorvido pelo elétron, fazendo com que o elétron passe a ter um novo momento $ p_2 $ na mesma direção. A gente vai usar as leis de conservação do momento e da energia, juntamente com a fórmula da energia relativística $ E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4 $, onde $ m_0 $ é a massa de repouso da partícula, para mostrar que certas soluções para $ p_2 - p_1 $ não fazem sentido, o que leva à conclusão de que a massa de repouso do elétron teria que ser zero, algo impossível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das leis de conservação que vamos usar:
  1. Conservação do Momento Linear: O momento total antes da interação deve ser igual ao momento total depois.
  2. Conservação da Energia: A energia total antes da interação deve ser igual à energia total depois.
Como o fóton é completamente absorvido pelo elétron, o momento total inicial é a soma do momento do fóton ($ p_f pf é p_1 $). Após a absorção, temos apenas o elétron com o novo momento $ p_2 $.

Passo 3

Vamos aplicar a conservação do momento:
pf + p1 = p2
Dessa forma, podemos isolar $ p_f $:
pf
Essa é uma das soluções que queremos analisar.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a conservação da energia. A energia total inicial é a soma da energia do fóton e a energia do elétron antes da interação. A energia do fóton é $ E_f = p_f c $, já que para fótons $ E = pc $. A energia do elétron antes é dada pela fórmula relativística:
Ef = pf c
Após a absorção, o elétron tem uma nova energia $ E_2 $:
E = pc
Então, a conservação da energia fica:
E1 = raizp1^2 c^2 + m0^2 c^4
E2

Passo 5

Vamos substituir $ p_f $ pela expressão que encontramos na Passo 3:
pf
Agora, para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(p2 - p1) c + raizp1^2 c^2 + m0^2 c^4 = raizp2^2 c^2 + m0^2 c^4

Passo 6

Expandindo o lado esquerdo da equação:
(p2 - p1)^2 c^2 + 2 (p2 - p1) c raizp1^2 c^2 + m0^2 c^4 + p1^2 c^2 + m0^2 c^4 = p2^2 c^2 + m0^2 c^4
Observamos que $ p_2^2 c^2 $ e $ m_0^2 c^4 $ aparecem dos dois lados e podem ser cancelados:
p2^2 c^2
Simplificando:
m0^2 c^4

Passo 7

Vamos reorganizar os termos:
(p2^2 - 2 p1 p2 + p1^2) c^2 + 2 (p2 - p1) c raizp1^2 c^2 + m0^2 c^4 + p1^2 c^2 - p2^2 c^2 = 0
Cancelando $ p_2^2 c^2 $ e $ p_1^2 c^2 $:
p2^2 c^2
Dividindo tudo por 2c:
p1^2 c^2

Passo 8

Isolando a raiz quadrada:
(p2 - p1) raizp1^2 c^2 + m0^2 c^4 = p1 p2 c
Elevando ambos os lados ao quadrado novamente:
(p2 - p1)^2 (p1^2 c^2 + m0^2 c^4) = p1^2 p2^2 c^2

Passo 9

Expandindo o lado esquerdo:
(p2^2 - 2 p1 p2 + p1^2)(p1^2 c^2 + m0^2 c^4) = p1^2 p2^2 c^2
Multiplicando os termos:
p2^2 p1^2 c^2 - 2 p1^3 p2 c^2 + p1^4 c^2 + p2^2 m0^2 c^4 - 2 p1 p2 m0^2 c^4 + p1^2 m0^2 c^4 = p1^2 p2^2 c^2
Subtraindo $ p_1^2 p_2^2 c^2 $ de ambos os lados:
p1^2 p2^2 c^2

Passo 10

Podemos fatorar alguns termos:
p1^2 c^2 (p1^2 - 2 p1 p2) + m0^2 c^4 (p2^2 - 2 p1 p2 + p1^2) = 0
Observando que $ p_2^2 - 2 p_1 p_2 + p_1^2 = (p_2 - p_1)^2 $, temos:
p2^2 - 2 p1 p2 + p1^2 = (p2 - p1)^2

Passo 11

Agora, vamos analisar as soluções dessa equação. Para que a equação seja satisfeita, ou o primeiro termo ou o segundo termo deve cancelar o outro. Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ p_1^2 c^2 (p_1 - 2 p_2) = 0 $
  2. $ m_0^2 c^4 (p_2 - p_1)^2 = 0 $

Passo 12

Analisando cada caso:
  1. Primeira Solução:
    p1^2 c^2 (p1 - 2 p2) = 0
    Para isso ser válido, ou $ p_1 = 0 $ ou $ p_1 - 2 p_2 = 0 $.
    • Se $ p_1 = 0 $, isso significaria que o elétron estava parado inicialmente, o que não é necessariamente impossível, mas não resolve nosso problema principal.
    • Se $ p_1 - 2 p_2 = 0 $, então $ p_2 = \frac{p_1}{2} $. Isso sugere que o momento final do elétron é metade do inicial, o que não faz sentido físico nesse contexto de absorção completa.
  2. Segunda Solução:
    p1 = 0
    Aqui, para que o produto seja zero, ou $ m_0 = 0 $ ou $ p_2 = p_1 $.
    • $ m_0 = 0 $ implicaria que o elétron não tem massa de repouso, o que sabemos que é impossível, já que elétrons possuem massa de repouso.
    • Se $ p_2 = p_1 $, isso implicaria que não houve mudança no momento do elétron, o que contraria a ideia de que o fóton foi absorvido e deveria alterar o momento do elétron.

Resposta

Dessa forma, mostramos que a solução $ p_2 - p_1 $ não é viável porque levaria a um momento final inconsistente ou implicaria que o elétron não teve sua massa de repouso, o que é impossível. Portanto, a absorção completa do fóton pelo elétron, conforme descrito, não pode ocorrer.

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