Um fóton com momento
interagve com um elétron livre cujo momento paralelo ao momento do fóton é
. Nesse experimento, supomos que o fóton é completamente absorvido pelo elétron que passa a ter um momento paralelo ao seu momento inicial
. Sabendo que a energia relativística de uma partícula pode ser escrita como
, onde
é a massa de repouso da partícula. A partir das leis de conservação do momento e energia, mostre que (
) é uma solução impossível e que uma segunda solução leva a conclusão de que a massa de repouso do elétron deveria ser zero, o que também é impossível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fóton com momento $ p_f $ que interage com um elétron livre que tem um momento paralelo ao do fóton, chamado $ p_1 $. O fóton é completamente absorvido pelo elétron, fazendo com que o elétron passe a ter um novo momento $ p_2 $ na mesma direção. A gente vai usar as leis de conservação do momento e da energia, juntamente com a fórmula da energia relativística $ E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4 $, onde $ m_0 $ é a massa de repouso da partícula, para mostrar que certas soluções para $ p_2 - p_1 $ não fazem sentido, o que leva à conclusão de que a massa de repouso do elétron teria que ser zero, algo impossível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das leis de conservação que vamos usar:
- Conservação do Momento Linear: O momento total antes da interação deve ser igual ao momento total depois.
- Conservação da Energia: A energia total antes da interação deve ser igual à energia total depois.
Como o fóton é completamente absorvido pelo elétron, o momento total inicial é a soma do momento do fóton ($ p_f
p_1 $). Após a absorção, temos apenas o elétron com o novo momento $ p_2 $.
Passo 3
Vamos aplicar a conservação do momento:
Dessa forma, podemos isolar $ p_f $:
Essa é uma das soluções que queremos analisar.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a conservação da energia. A energia total inicial é a soma da energia do fóton e a energia do elétron antes da interação. A energia do fóton é $ E_f = p_f c $, já que para fótons $ E = pc $. A energia do elétron antes é dada pela fórmula relativística:
Após a absorção, o elétron tem uma nova energia $ E_2 $:
Então, a conservação da energia fica:
Passo 5
Vamos substituir $ p_f $ pela expressão que encontramos na Passo 3:
Agora, para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 6
Expandindo o lado esquerdo da equação:
Observamos que $ p_2^2 c^2 $ e $ m_0^2 c^4 $ aparecem dos dois lados e podem ser cancelados:
Simplificando:
Passo 7
Vamos reorganizar os termos:
Cancelando $ p_2^2 c^2 $ e $ p_1^2 c^2 $:
Dividindo tudo por 2c:
Passo 8
Isolando a raiz quadrada:
Elevando ambos os lados ao quadrado novamente:
Passo 9
Expandindo o lado esquerdo:
Multiplicando os termos:
Subtraindo $ p_1^2 p_2^2 c^2 $ de ambos os lados:
Passo 10
Podemos fatorar alguns termos:
Observando que $ p_2^2 - 2 p_1 p_2 + p_1^2 = (p_2 - p_1)^2 $, temos:
Passo 11
Agora, vamos analisar as soluções dessa equação. Para que a equação seja satisfeita, ou o primeiro termo ou o segundo termo deve cancelar o outro. Isso nos dá duas possibilidades:
- $ p_1^2 c^2 (p_1 - 2 p_2) = 0 $
- $ m_0^2 c^4 (p_2 - p_1)^2 = 0 $
Passo 12
Analisando cada caso:
-
Primeira Solução:Para isso ser válido, ou $ p_1 = 0 $ ou $ p_1 - 2 p_2 = 0 $.
- Se $ p_1 = 0 $, isso significaria que o elétron estava parado inicialmente, o que não é necessariamente impossível, mas não resolve nosso problema principal.
- Se $ p_1 - 2 p_2 = 0 $, então $ p_2 = \frac{p_1}{2} $. Isso sugere que o momento final do elétron é metade do inicial, o que não faz sentido físico nesse contexto de absorção completa.
-
Segunda Solução:Aqui, para que o produto seja zero, ou $ m_0 = 0 $ ou $ p_2 = p_1 $.
- $ m_0 = 0 $ implicaria que o elétron não tem massa de repouso, o que sabemos que é impossível, já que elétrons possuem massa de repouso.
- Se $ p_2 = p_1 $, isso implicaria que não houve mudança no momento do elétron, o que contraria a ideia de que o fóton foi absorvido e deveria alterar o momento do elétron.
Resposta
Dessa forma, mostramos que a solução $ p_2 - p_1 $ não é viável porque levaria a um momento final inconsistente ou implicaria que o elétron não teve sua massa de repouso, o que é impossível. Portanto, a absorção completa do fóton pelo elétron, conforme descrito, não pode ocorrer.